微分積分例

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

ステップ 1

式 $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 2.1

項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

ステップ 2.1.1.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.1.2.1

$e^{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

ステップ 2.1.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

ステップ 2.1.2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

ステップ 2.1.2.2

因数をまとめます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$e^{x}$ に $e$ をかけます。

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ステップ 2.1.2.2.1.1

$e$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

ステップ 2.1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

ステップ 2.1.2.2.2

$e^{x}$ と $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

ステップ 2.1.2.2.3

$e^{x}$ に $e$ をかけます。

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ステップ 2.1.2.2.3.1

$e$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

ステップ 2.1.2.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

ステップ 2.2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

ステップ 2.2.1.2

指数 $x + 1$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x + 1}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

ステップ 2.2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.2.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2.2.1.3.2

指数 $x + 1$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x + 1}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2.2.1.3.3

極限を求めます。

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ステップ 2.2.1.3.3.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.2.1.3.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.1.3.3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.3.3.2.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.3.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.7

$e^{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

ステップ 2.2.3.8

総和則では、 $e^{x + 1} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9

$\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.9.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.9.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9.1.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.9.6

$e^{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 2.2.3.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

ステップ 2.2.3.11

$e^{x + 1}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

ステップ 2.2.4

$e^{x + 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} 1$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$1$

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

ステップ 3.2

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

ステップ 3.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

ステップ 3.4

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

ステップ 3.5

極限を求めます。

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ステップ 3.5.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $e^{- 1}$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

ステップ 3.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

ステップ 3.5.2.1.2

$0$ から $\frac{1}{e}$ を引きます。

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

ステップ 3.5.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$0 (- e)$

ステップ 3.5.2.3

$0 (- e)$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 e$

ステップ 3.5.2.3.2

$0$ に $e$ をかけます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 1, 0$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 1$

水平漸近線： $y = 1, 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例