微分積分例

$5 x^{2} + 3 x - 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 x^{2} + 3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$10 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$10 x + 3 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$10 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 10 x + 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $10 x + 3$ です。

$10 x + 3$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $10 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$10 x + 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$10 x = - 3$

ステップ 2.3

$10 x = - 3$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$10 x = - 3$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 3}{10}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 3}{10}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{10}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{10}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 x^{2} + 3 x - 2$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{3}{10}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{3}{10}$ を $x$ に代入します。

$5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{10}$ に当てはめます。

$5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{10}$ に当てはめます。

$5 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$5 (1 \frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{3^{2}}{10^{2}}$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{3^{2}}{10^{2}} + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$5 \frac{9}{10^{2}} + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.5

$10$ を $2$ 乗します。

$5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.6

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

$5$ を $100$ で因数分解します。

$5 \frac{9}{5 (20)} + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{9}{5 \cdot 20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.6.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.7

$3 (- \frac{3}{10})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 2$

ステップ 4.1.2.1.7.2

$- 3$ と $\frac{3}{10}$ をまとめます。

$\frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 2$

ステップ 4.1.2.1.7.3

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 2$

ステップ 4.1.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 2$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{9}{10}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 2$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{9}{10}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 2$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 2}{1}$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{20}{20}$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{20}{20}$ をかけます。

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 20}{20}$

ステップ 4.1.2.2.6

$10 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 2 \cdot 20}{20}$

ステップ 4.1.2.2.7

$2$ に $10$ をかけます。

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 2 \cdot 20}{20}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 - 9 \cdot 2 - 2 \cdot 20}{20}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 - 18 - 2 \cdot 20}{20}$

ステップ 4.1.2.4.2

$- 2$ に $20$ をかけます。

$\frac{9 - 18 - 40}{20}$

ステップ 4.1.2.5

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$9$ から $18$ を引きます。

$\frac{- 9 - 40}{20}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 9$ から $40$ を引きます。

$\frac{- 49}{20}$

ステップ 4.1.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{49}{20}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{3}{10}, - \frac{49}{20})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例