微分積分例

$7 x + 5 x^{- 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $7 x + 5 x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

ステップ 1.1.2.3

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 7 + \frac{d}{d x} (5 x^{- 1})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{- 1}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$f' (x) = 7 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 1.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 + 5 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 7 - 5 x^{- 2}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 5 x^{- 2} + 7$ です。

$- 5 x^{- 2} + 7$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 5 x^{- 2} + 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 5 x^{- 2} + 7 = 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 7 = 0$

ステップ 2.2.2

$- 5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{x^{2}} + 7 = 0$

ステップ 2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{x^{2}} + 7 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- \frac{5}{x^{2}} = - 7$

ステップ 2.4

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 2.4.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.5

$- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- \frac{5}{x^{2}} = - 7$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$- \frac{5}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

ステップ 2.5.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{2} = - 7 x^{2}$

ステップ 2.5.2.1.3

式を書き換えます。

$- 5 = - 7 x^{2}$

ステップ 2.6

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

方程式を $- 7 x^{2} = - 5$ として書き換えます。

$- 7 x^{2} = - 5$

ステップ 2.6.2

$- 7 x^{2} = - 5$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$- 7 x^{2} = - 5$ の各項を $- 7$ で割ります。

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

ステップ 2.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 5}{- 7}$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 5}{- 7}$

ステップ 2.6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{2} = \frac{5}{7}$

ステップ 2.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

ステップ 2.6.4

$\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$\sqrt{\frac{5}{7}}$ を $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

ステップ 2.6.4.2

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

ステップ 2.6.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.3.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 2.6.4.3.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

ステップ 2.6.4.3.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

ステップ 2.6.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.6.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 2.6.4.3.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.6.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.6.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.6.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.6.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

ステップ 2.6.4.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

ステップ 2.6.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

ステップ 2.6.4.4.2

$5$ に $7$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

ステップ 2.6.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

ステップ 2.6.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

ステップ 2.6.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{- 2}$ の底辺を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $7 x + 5 x^{- 1}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{\sqrt{35}}{7}$ を $x$ に代入します。

$7 (\frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$7 \frac{\sqrt{35}}{7} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

ステップ 4.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sqrt{35} + 5 {(\frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

ステップ 4.1.2.1.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7}{\sqrt{35}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{7}{\sqrt{35}}$ に $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ をかけます。

$\sqrt{35} + 5 (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

ステップ 4.1.2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.1

$\frac{7}{\sqrt{35}}$ に $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ をかけます。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

$\sqrt{35}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

ステップ 4.1.2.1.4.3

$\sqrt{35}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

ステップ 4.1.2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.1.2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.4.6

${\sqrt{35}}^{2}$ を $35$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{35}$ を $35^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.1.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.1.2.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.1.2.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}}$

ステップ 4.1.2.1.4.6.5

指数を求めます。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{35}$

ステップ 4.1.2.1.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$5$ を $35$ で因数分解します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{35} + 5 \frac{7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

ステップ 4.1.2.1.5.3

式を書き換えます。

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

ステップ 4.1.2.1.6

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{35} + \frac{7 \sqrt{35}}{7}$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$\sqrt{35}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{35} + \sqrt{35}$

ステップ 4.1.2.2

$\sqrt{35}$ と $\sqrt{35}$ をたし算します。

$2 \sqrt{35}$

ステップ 4.2

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- \frac{\sqrt{35}}{7}$ を $x$ に代入します。

$7 (- \frac{\sqrt{35}}{7}) + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$- \frac{\sqrt{35}}{7}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$7 \frac{- \sqrt{35}}{7} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

ステップ 4.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{35} + 5 {(- \frac{\sqrt{35}}{7})}^{- 1}$

ステップ 4.2.2.1.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7}{\sqrt{35}})$

ステップ 4.2.2.1.3

$\frac{7}{\sqrt{35}}$ に $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ をかけます。

$- \sqrt{35} + 5 (- (\frac{7}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}))$

ステップ 4.2.2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.1

$\frac{7}{\sqrt{35}}$ に $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ をかけます。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

ステップ 4.2.2.1.4.2

$\sqrt{35}$ を $1$ 乗します。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}})$

ステップ 4.2.2.1.4.3

$\sqrt{35}$ を $1$ 乗します。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}})$

ステップ 4.2.2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

ステップ 4.2.2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

ステップ 4.2.2.1.4.6

${\sqrt{35}}^{2}$ を $35$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{35}$ を $35^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35^{1}})$

ステップ 4.2.2.1.4.6.5

指数を求めます。

$- \sqrt{35} + 5 (- \frac{7 \sqrt{35}}{35})$

ステップ 4.2.2.1.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.5.1

$- \frac{7 \sqrt{35}}{35}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{35}$

ステップ 4.2.2.1.5.2

$5$ を $35$ で因数分解します。

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 (7)}$

ステップ 4.2.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$- \sqrt{35} + 5 \frac{- 7 \sqrt{35}}{5 \cdot 7}$

ステップ 4.2.2.1.5.4

式を書き換えます。

$- \sqrt{35} + \frac{- 7 \sqrt{35}}{7}$

ステップ 4.2.2.1.6

$- 7$ と $7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.1

$7$ を $- 7 \sqrt{35}$ で因数分解します。

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7}$

ステップ 4.2.2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 (1)}$

ステップ 4.2.2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$- \sqrt{35} + \frac{7 (- \sqrt{35})}{7 \cdot 1}$

ステップ 4.2.2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{35} + \frac{- \sqrt{35}}{1}$

ステップ 4.2.2.1.6.2.4

$- \sqrt{35}$ を $1$ で割ります。

$- \sqrt{35} - \sqrt{35}$

ステップ 4.2.2.2

$- \sqrt{35}$ から $\sqrt{35}$ を引きます。

$- 2 \sqrt{35}$

ステップ 4.3

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$7 (0) + 5 {(0)}^{- 1}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$0 + 5 {(0)}^{- 1}$

ステップ 4.3.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

ステップ 4.3.2.1.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$0 + 5 (\frac{1}{0})$

ステップ 4.3.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{\sqrt{35}}{7}, 2 \sqrt{35}), (- \frac{\sqrt{35}}{7}, - 2 \sqrt{35})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例