微分積分例

$16 x^{4} + 125 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $16 x^{4} + 125 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{4}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [125 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$125$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $125 x$ の微分係数は $125 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$125$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $64 x^{3} + 125$ です。

$64 x^{3} + 125$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $64 x^{3} + 125 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$64 x^{3} + 125 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $125$ を引きます。

$64 x^{3} = - 125$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $125$ を足します。

$64 x^{3} + 125 = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$64 x^{3}$ を ${(4 x)}^{3}$ に書き換えます。

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

ステップ 2.4.2

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

ステップ 2.4.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4 x$ であり、 $b = 5$ です。

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.4.4

簡約します。

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ステップ 2.4.4.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.4.4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.4.4.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.4.4.4

$5$ に $- 4$ をかけます。

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.4.4.5

$5$ を $2$ 乗します。

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

ステップ 2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

ステップ 2.6

$4 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$4 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 5 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $4 x + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$4 x = - 5$

ステップ 2.6.2.2

$4 x = - 5$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.1

$4 x = - 5$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

ステップ 2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

ステップ 2.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{4}$

ステップ 2.6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{4}$

ステップ 2.7

$16 x^{2} - 20 x + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$16 x^{2} - 20 x + 25$ が $0$ に等しいとします。

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

ステップ 2.7.2

$x$ について $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.7.2.2

$a = 16$ 、 $b = - 20$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.1.1

$- 20$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.2.2

$- 64$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.3

$400$ から $1600$ を引きます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.4

$- 1200$ を $- 1 (1200)$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (1200)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.7

$1200$ を $20^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.1.7.1

$400$ を $1200$ で因数分解します。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.7.2

$400$ を $20^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.1.9

$20$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.3.2

$2$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.7.2.3.3

$\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.4.1.1

$- 20$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.2.2

$- 64$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.3

$400$ から $1600$ を引きます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.4

$- 1200$ を $- 1 (1200)$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (1200)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.7

$1200$ を $20^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.4.1.7.1

$400$ を $1200$ で因数分解します。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.7.2

$400$ を $20^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.1.9

$20$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.4.2

$2$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.7.2.4.3

$\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.7.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.7.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.2.5.1.1

$- 20$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.2.2

$- 64$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.3

$400$ から $1600$ を引きます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.4

$- 1200$ を $- 1 (1200)$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (1200)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.7

$1200$ を $20^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.7.2.5.1.7.1

$400$ を $1200$ で因数分解します。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.7.2

$400$ を $20^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.1.9

$20$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.7.2.5.2

$2$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 2.7.2.5.3

$\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.7.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.8

最終解は $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $16 x^{4} + 125 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{5}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{5}{4}$ を $x$ に代入します。

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{4}$ に当てはめます。

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{4}$ に当てはめます。

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.3

$\frac{5^{4}}{4^{4}}$ に $1$ をかけます。

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.4

$5$ を $4$ 乗します。

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.5

$4$ を $4$ 乗します。

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.6

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

$16$ を $256$ で因数分解します。

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.6.3

式を書き換えます。

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.7

$125 (- \frac{5}{4})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.7.1

$- 1$ に $125$ をかけます。

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

ステップ 4.1.2.1.7.2

$- 125$ と $\frac{5}{4}$ をまとめます。

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

ステップ 4.1.2.1.7.3

$- 125$ に $5$ をかけます。

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

ステップ 4.1.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

ステップ 4.1.2.2

$- \frac{625}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.2.3.1

$\frac{625}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

ステップ 4.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$- 625$ に $4$ をかけます。

$\frac{625 - 2500}{16}$

ステップ 4.1.2.5.2

$625$ から $2500$ を引きます。

$\frac{- 1875}{16}$

ステップ 4.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1875}{16}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例