微分積分例

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{e^{x}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

ステップ 1.2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$x^{e^{x}}$ を $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

ステップ 1.2.2

$e^{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{e^{x}})$ を展開します。

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

ステップ 1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = e^{x} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} \ln (x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

ステップ 1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} \ln (x)$ で置き換えます。

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

ステップ 1.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 1.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 1.6

$e^{x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 1.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

分配則を当てはめます。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 1.8.2

項をまとめます。

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ステップ 1.8.2.1

$\frac{e^{x}}{x}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 1.8.2.2

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ と $e^{e^{x} \ln (x)}$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 1.8.2.3

指数を足して $e^{x}$ に $e^{e^{x} \ln (x)}$ を掛けます。

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ステップ 1.8.2.3.1

$e^{e^{x} \ln (x)}$ を移動させます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 1.8.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 1.8.2.4

$2$ を $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

ステップ 1.8.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 1.8.2.6

$2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 1.8.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

ステップ 1.8.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

ステップ 2

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

括弧を削除します。

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

ステップ 3.2

$2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ を $1$ で割ります。

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

簡約します。

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.1.3

$e$ に $0$ をかけます。

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.3

簡約します。

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.6

$2 e \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1

$0$ に $2$ をかけます。

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.6.2

$0$ に $e$ をかけます。

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

ステップ 4.7

各項を簡約します。

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ステップ 4.7.1

簡約します。

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

ステップ 4.7.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

ステップ 4.7.3

$e$ に $0$ をかけます。

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

ステップ 4.8

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (1) = 0 + 2 e$

ステップ 4.9

簡約します。

$f' (1) = 0 + 2 e$

ステップ 5

$0$ と $2 e$ をたし算します。

$f' (1) = 2 e$

微分積分 例

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