微分積分例

$y = e^{p} (p + p \sqrt{p})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{p}$ を $p^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d p} (y) = \frac{d}{d p} (e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 3

$p$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

指数を足して $p$ に $p^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1

$p$ に $p^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.1.1.1

$p$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1} p^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1 + \frac{1}{2}})]$

ステップ 4.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

ステップ 4.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2 + 1}{2}})]$

ステップ 4.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{3}{2}})]$

ステップ 4.2

$f (p) = e^{p}$ および $g (p) = p + p^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ は $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{p} \frac{d}{d p} [p + p^{\frac{3}{2}}] + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.3

微分します。

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ステップ 4.3.1

総和則では、 $p + p^{\frac{3}{2}}$ の $p$ に関する積分は $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]$ です。

$e^{p} (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{p} (1 + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.3.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{1}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.8

$\frac{3}{2}$ と $p^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

ステップ 4.9

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ は $a^{p} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

ステップ 4.10

簡約します。

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ステップ 4.10.1

分配則を当てはめます。

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

ステップ 4.10.2

分配則を当てはめます。

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

ステップ 4.10.3

項をまとめます。

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ステップ 4.10.3.1

$e^{p}$ に $1$ をかけます。

$e^{p} + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

ステップ 4.10.3.2

$e^{p}$ と $\frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

ステップ 4.10.4

項を並べ替えます。

$e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d p}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d p} = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

微分積分 例

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