微分積分例

$f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x}{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.3.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.3.6

$e^{- \frac{x}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.2

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- \frac{x}{2}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.4

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.8

$e^{- \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.9

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.2.10

$e^{- \frac{x}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- \frac{x}{2}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

ステップ 2.3.2

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})$

ステップ 2.3.5

$e^{- \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2.5

$e^{- \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2.6

$- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ から $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - 2 \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2.7

$- 2$ と $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- 2 e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 2.4.2.8

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.8.1

$2$ を $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2}$

ステップ 2.4.2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 2.4.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.8.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- e^{- \frac{x}{2}}}{1}$

ステップ 2.4.2.8.2.4

$- e^{- \frac{x}{2}}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x}{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

ステップ 4.1.3.6

$e^{- \frac{x}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ です。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

ステップ 5.2

$e^{- \frac{x}{2}}$ を $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ を $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

ステップ 5.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

ステップ 5.2.3

$e^{- \frac{x}{2}}$ を $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

ステップ 5.4

$e^{- \frac{x}{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

$- \frac{x}{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- \frac{x}{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{x}{2} = - 1$

ステップ 5.5.2.2

方程式の両辺に $- 2$ を掛けます。

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

ステップ 5.5.2.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1

$- 2 (- \frac{x}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1.1.1

$- \frac{x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

ステップ 5.5.2.3.1.1.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

ステップ 5.5.2.3.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

ステップ 5.5.2.3.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - x = - 2 \cdot - 1$

ステップ 5.5.2.3.1.1.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x = - 2 \cdot - 1$

ステップ 5.5.2.3.1.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x = - 2 \cdot - 1$

ステップ 5.5.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x = 2$

ステップ 5.6

最終解は $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{(2) e^{- \frac{2}{2}}}{4} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{2}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.2.1

$2$ を $4 e^{1}$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.4

簡約します。

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 9.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1 \cdot 1}$

ステップ 9.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1}$

ステップ 9.1.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e}$

ステップ 9.2

$- \frac{1}{e}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 9.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 e$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.3.1

$\frac{1}{e}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{e \cdot 2}$

ステップ 9.3.2

$e \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{2 e}$

ステップ 9.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 2}{2 e}$

ステップ 9.5

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{2 e}$

ステップ 9.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2 e}$

ステップ 10

$x = 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極大値です

ステップ 11

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = (2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.1

共通因数を約分します。

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

ステップ 11.2.1.2

式を書き換えます。

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

ステップ 11.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1}$

ステップ 11.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 11.2.4

$2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f (2) = \frac{2}{e}$

ステップ 11.2.5

最終的な答えは $\frac{2}{e}$ です。

$y = \frac{2}{e}$

ステップ 12

$f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$ の極値です。

$(2, \frac{2}{e})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例