微分積分例

$f (x) = 3 x \sqrt{x - x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - x^{2}}$ を ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - x^{2}$ とします。

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - x^{2}$ で置き換えます。

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8

分数をまとめます。

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ステップ 1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.9

総和則では、 $x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 1.15

${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.16

簡約します。

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ステップ 1.16.1

分配則を当てはめます。

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x)) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.16.2

項をまとめます。

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ステップ 1.16.2.1

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.16.2.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.16.3

項を並べ替えます。

$(1 - 2 x) \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.16.4

各項を簡約します。

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ステップ 1.16.4.1

$1 - 2 x$ に $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(1 - 2 x) (3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.16.4.2

$3$ を $1 - 2 x$ の左に移動させます。

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.16.5

$3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.6

$3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.16.8.1

$3$ を $3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

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ステップ 1.16.8.1.1

$3$ を $3 (1 - 2 x) x$ で因数分解します。

$\frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.1.2

$3$ を $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.1.3

$3$ を $3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ で因数分解します。

$\frac{3 ((1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.16.8.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 (x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.6

指数を足して ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.16.8.6.1

${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.6.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{1})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.7

$2 {(x - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.8

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.10

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.11

$- 2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 (- 4 x^{2} + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.12

$x$ を $- 4 x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.16.8.12.1

$x$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x (- 4 x) + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.12.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.8.12.3

$x$ を $x (- 4 x) + x \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (x (- 4 x + 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{3 x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.9

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.10

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{3 x (- (4 x) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.11

$- 1$ を $- (4 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{3 x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.12

$- (4 x - 3)$ を $- 1 (4 x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{3 x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16.14

$- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$f (x) = x (4 x - 3)$ および $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3

${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.5

$f (x) = x$ および $g (x) = 4 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} (4 x - 3) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6

微分します。

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ステップ 2.6.1

総和則では、 $4 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.4

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.6.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + (4 x - 3) \cdot 1) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.8.1

$4 x - 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 4 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.6.8.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

ステップ 2.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.7.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.7.3

$u$ のすべての発生を $x - x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.10

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.12

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.12.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.12.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.12.4

$\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x - x^{2})}{x - x^{2}}$

ステップ 2.13

総和則では、 $x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - (2 x)))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.17

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

ステップ 2.17.2

$\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)}{x - x^{2}}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))) \cdot 3}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

ステップ 2.17.3

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.3.1

$3$ を ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

ステップ 2.17.3.2

$2$ を $x - x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 \cdot (x - x^{2})}$

ステップ 2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 (x - x^{2})}$

ステップ 2.18.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.1

$3$ を $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.1.1

$3$ を $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.1.2

$3$ を $3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.4

$- 3$ を ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.6.1

$- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.6.2

$2$ を $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.6.3

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.6.4

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.6.5

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.7

$2$ と $\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{2 (- x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.9

$\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x \cdot x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.10

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.11

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.18.3.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.14

$- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.14.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.14.2

$3$ と $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.15

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.16

分配法則（FOIL法）を使って $(- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.16.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.16.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.16.3

分配則を当てはめます。

ステップ 2.18.3.17

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.17.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.2

$- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.17.1.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.2.2

$2$ と $\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.2.4

$\frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2} x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (x \cdot x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{1 + 2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.2.7

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.3

$\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.17.1.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.5.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.6

$- \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.17.1.6.1

$x$ と $\frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x (3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.1.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.17.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.18

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.19

$- 2 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.20

$x^{2}$ を $4 x^{3} - 5 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.20.1

$x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.20.2

$x^{2}$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.20.3

$x^{2}$ を $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.21

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.22

$\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.23

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.23.1

$\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.23.2

$2$ を ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.24

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.25.1

$x$ を $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.25.1.1

$x$ を $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.1.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.1.3

$x$ を $x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x) + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.4

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.25.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 (x \cdot x) - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.6

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.7

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.8

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.9

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.25.9.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.25.9.1.1

$- 10$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.9.1.2

$- 10$ を $- 4$ プラス $- 6$ に書き換える

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.9.1.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.9.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.25.9.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.9.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.25.9.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((2 x - 1) (4 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.26

$8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.27

$8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ と $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.28

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.29

$- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

ステップ 2.18.3.30

$- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.31

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32

因数分解した形で $\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.1

$8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.1.1

$2$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.1.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.1.3

指数を足して ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.1.3.1

${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.1.3.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.1.4

$16 {(- x^{2} + x)}^{1} x$ を簡約します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{(16 (- x^{2}) + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.3

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{(- 16 x^{2} + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{2} x + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.5.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 (x \cdot x^{2}) + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.18.3.32.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{1 + 2} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.6.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 (x \cdot x) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (x (2 x) + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.9

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.10.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.10.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.10.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.10.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.11

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} - x) (4 x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x - 3) - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.12.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.12.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.12.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.18.3.32.12.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.4

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.12.1.6.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2}) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.1.8

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.12.2

$- 6 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.14

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.15

$- 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.15.1

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.15.2

指数を足して ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.15.2.1

${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.15.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.15.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.15.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.15.3

$- 6 {(- x^{2} + x)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.16

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2}) - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.17

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.18

$- 16 x^{3}$ と $8 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.19

$16 x^{2}$ から $10 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.20

$6 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.21

$3 x$ から $6 x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.22

$x$ を $- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.32.22.1

$x$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.22.2

$x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.22.3

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.22.4

$x$ を $x (- 8 x^{2}) + x (12 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.3.32.22.5

$x$ を $x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.4.1

$3$ と $\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (x (- 8 x^{2} + 12 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

ステップ 2.18.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$

ステップ 2.18.4.3

$\frac{\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - (\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 2 x^{2}})$

ステップ 2.18.4.4

$\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{2 x - 2 x^{2}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2 x^{2})}$

ステップ 2.18.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.5.1

$2 x$ を $2 x - 2 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.5.1.1

$2 x$ を $2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) - 2 x^{2})}$

ステップ 2.18.5.1.2

$2 x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) + 2 x (- x))}$

ステップ 2.18.5.1.3

$2 x$ を $2 x (1) + 2 x (- x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 x (1 - x))}$

ステップ 2.18.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

ステップ 2.18.6

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

ステップ 2.18.7

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.8

$- 1$ を $- 8 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2}) + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.9

$- 1$ を $12 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2}) - (- 12 x) - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.10

$- 1$ を $- (8 x^{2}) - (- 12 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x) - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.11

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.12

$- 1$ を $- (8 x^{2} - 12 x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x + 3))}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.13

$- (8 x^{2} - 12 x + 3)$ を $- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3))}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 2.18.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)})$

ステップ 2.18.16

$\frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - x^{2}}$ を ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.2

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - x^{2}$ とします。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.9

総和則では、 $x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{d}{d x} x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 4.1.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 4.1.15

${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.16.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.2.1

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $3$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.16.2.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.16.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = (1 - 2 x) (\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.16.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.4.1

$1 - 2 x$ に $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) (3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.16.4.2

$3$ を $1 - 2 x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.16.5

$3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.6

$3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.7

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.8.1

$3$ を $3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.8.1.1

$3$ を $3 (1 - 2 x) x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.1.2

$3$ を $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.1.3

$3$ を $3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{3 (1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.8.4.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.6

指数を足して ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.8.6.1

${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.6.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.6.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.7

$2 {(x - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.8

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.10

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.11

$- 2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{3 (- 4 x^{2} + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.12

$x$ を $- 4 x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.8.12.1

$x$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x) + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.12.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.8.12.3

$x$ を $x (- 4 x) + x \cdot 3$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x + 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$f' (x) = \frac{3 x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.9

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.10

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x) - 1 \cdot - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.11

$- 1$ を $- (4 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.12

$- (4 x - 3)$ を $- 1 (4 x - 3)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{3 x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.13

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.16.14

$- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$3 x (4 x - 3) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 x - 3 = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.3.3

$4 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 3 = 0$

ステップ 5.3.3.2

$x$ について $4 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 x = 3$

ステップ 5.3.3.2.2

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 5.3.4

最終解は $3 x (4 x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{3}{4}$

ステップ 5.4

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{{(x - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x - x^{2}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - x^{2}}$ を ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (x - x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.6

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x - 4 x^{2} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$4 u - 4 u^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.1.2

$4 u$ を $4 u - 4 u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.2.1

$4 u$ を $4 u$ で因数分解します。

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

ステップ 6.3.3.1.2.2

$4 u$ を $- 4 u^{2}$ で因数分解します。

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

ステップ 6.3.3.1.2.3

$4 u$ を $4 u (1) + 4 u (- u)$ で因数分解します。

$4 u (1 - u) = 0$

ステップ 6.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$4 x (1 - x) = 0$

ステップ 6.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 6.3.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.3.3.4

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 6.3.3.4.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 6.3.3.4.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.3.4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 6.3.3.5

最終解は $4 x (1 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 6.4

$\sqrt{x - x^{2}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - x^{2} < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

不等式を方程式に変換します。

$x - x^{2} = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ を $x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

ステップ 6.5.2.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

ステップ 6.5.2.3

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x)$ で因数分解します。

$x (1 - x) = 0$

ステップ 6.5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 6.5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.5.5

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 6.5.5.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 6.5.5.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 6.5.6

最終解は $x (1 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 6.5.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 6.5.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 6.5.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$(- 2) - {(- 2)}^{2} < 0$

ステップ 6.5.8.1.3

左辺 $- 6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.5.8.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.8.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 6.5.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$(0.5) - {(0.5)}^{2} < 0$

ステップ 6.5.8.2.3

左辺 $0.25$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.5.8.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.8.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.5.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(4) - {(4)}^{2} < 0$

ステップ 6.5.8.3.3

左辺 $- 12$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.5.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 6.5.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 1$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{3}{4}, 0, 1$

ステップ 8

$x = \frac{3}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{3 (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

括弧を削除します。

$\frac{3 (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$\frac{3 (8 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 (8 \frac{9}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 (8 (\frac{9}{16}) - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.4

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.4.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{3 (8 \frac{9}{8 (2)} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (8 \frac{9}{8 \cdot 2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.1

$4$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{3 (\frac{9}{2} + 4 (- 3) \frac{3}{4} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (\frac{9}{2} + 4 \cdot - 3 \frac{3}{4} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.5.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.6

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 9 + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.7

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.8

$- 9$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (\frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.10.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 (\frac{9 - 18}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.10.2

$9$ から $18$ を引きます。

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.11

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.12

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 \frac{- 9 + 3 \cdot 2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.14.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 \frac{- 9 + 6}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.14.2

$- 9$ と $6$ をたし算します。

$\frac{3 (\frac{- 3}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3 \cdot - 1 \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.16

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.16.1

負をくくり出します。

$\frac{- (3 (\frac{3}{2}))}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.16.2

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{3 \cdot 3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.2.16.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}$

ステップ 9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{4 - 3}{4}}$

ステップ 9.3.3

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

ステップ 9.3.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.1

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4}{4} {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.4.2

$\frac{4}{4}$ と ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

ステップ 9.3.5

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

ステップ 9.3.6

${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.7.1

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{3^{2}}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.7.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.7.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.8

$\frac{3}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.9.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.9.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{- 9 + 3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.11.1

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{- 9 + 12}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.11.2

$- 9$ と $12$ をたし算します。

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{3}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3.12

積の法則を $\frac{3}{16}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 9.3.13

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.13.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 9.3.13.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

ステップ 9.3.13.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.13.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

ステップ 9.3.13.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{1}}}$

ステップ 9.3.13.4

指数を求めます。

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}}$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$- \frac{9}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.5.4

式を書き換えます。

$- 9 \frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.6

$- 9$ と $\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 9 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 18}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{18}{3^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10

$x = \frac{3}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3}{4}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{3}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3}{4}) = 3 (\frac{3}{4}) \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$3 (\frac{3}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$3$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \cdot 3}{4} \cdot \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

ステップ 11.2.2

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 11.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{4^{2}}}$

ステップ 11.2.4

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{16}}$

ステップ 11.2.5

$\frac{3}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{16}}$

ステップ 11.2.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.6.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{9}{16}}$

ステップ 11.2.6.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{16} - \frac{9}{16}}$

ステップ 11.2.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4 - 9}{16}}$

ステップ 11.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.8.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{12 - 9}{16}}$

ステップ 11.2.8.2

$12$ から $9$ を引きます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}$

ステップ 11.2.9

$\sqrt{\frac{3}{16}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$

ステップ 11.2.10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 11.2.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

ステップ 11.2.11

$\frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.11.1

$\frac{9}{4}$ に $\frac{\sqrt{3}}{4}$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 \sqrt{3}}{4 \cdot 4}$

ステップ 11.2.11.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 11.2.12

最終的な答えは $\frac{9 \sqrt{3}}{16}$ です。

$y = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 12

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

括弧を削除します。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

ステップ 13.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- 0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

ステップ 13.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

ステップ 13.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

ステップ 13.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

ステップ 13.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

ステップ 13.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

ステップ 13.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{1} (1 - (0))}$

ステップ 13.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.4.1

指数を求めます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0 (1 - (0))}$

ステップ 13.3.4.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0 (1 - (0))}$

ステップ 13.3.4.3

$1$ から $0$ を引きます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0 \cdot 1}$

ステップ 13.3.4.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

ステップ 13.3.4.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

ステップ 13.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

ステップ 13.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 14

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例