微分積分例

$y = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$

ステップ 1

$y = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7 x}{x^{2} + 9}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$ です。

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 9})$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = 7 (\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 (\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.2

$x^{2} + 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.3

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 7 (\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

ステップ 2.1.9

$7$ と $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{7 (- x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{7 (- x^{2}) + 7 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 7 x^{2} + 7 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2.2

$7$ に $9$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 7 x^{2} + 63}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - 7 x^{2} + 63$ および $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 7 x^{2} + 63) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 7 x^{2} + 63) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 7 x^{2} + 63) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

総和則では、 $- 7 x^{2} + 63$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [63]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (63)) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (63)) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (63)) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.5

$2$ に $- 7$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x + \frac{d}{d x} (63)) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.6

$63$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $63$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x + 0) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.7

$- 14 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 63) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 9$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 63) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 63) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 63) (2 (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 63) ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 63) ((x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 63) ((x^{2} + 9) (2 x + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 63) ((x^{2} + 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 63) ((x^{2} + 9) (2 x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 9$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 63) (2 \cdot ((x^{2} + 9) x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) - 4 (- 7 x^{2} + 63) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 14 x) + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 14 {(x^{2} + 9)}^{2} x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 9)}^{2}$ を $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 14 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.3

$9$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.2

$9 x^{2}$ と $9 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 14 x^{4} - 14 (18 x^{2}) - 14 \cdot 81) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.6.1

$18$ に $- 14$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 14 x^{4} - 252 x^{2} - 14 \cdot 81) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6.2

$- 14$ に $81$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 14 x^{4} - 252 x^{2} - 1134) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{4} x - 252 x^{2} x - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x \cdot x^{4}) - 252 x^{2} x - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 14 (x \cdot x^{4}) - 252 x^{2} x - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{1 + 4} - 252 x^{2} x - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{2} x - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 (x \cdot x^{2}) - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 (x \cdot x^{2}) - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{1 + 2} - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.9.1

$- 7$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + (28 x^{2} - 4 \cdot 63) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $63$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + (28 x^{2} - 252) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + (28 x^{2} - 252) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + (28 x^{2} - 252) (x^{2 + 1} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + (28 x^{2} - 252) (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(28 x^{2} - 252) (x^{3} + 9 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{2} (x^{3} + 9 x) - 252 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{2} x^{3} + 28 x^{2} (9 x) - 252 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{2} x^{3} + 28 x^{2} (9 x) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 (x^{3} x^{2}) + 28 x^{2} (9 x) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{3 + 2} + 28 x^{2} (9 x) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 28 x^{2} (9 x) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (9 x^{2} x) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (9 x^{1 + 2}) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (9 x^{3}) - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.4

$28$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 252 x^{3} - 252 x^{3} - 252 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5

$9$ に $- 252$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 252 x^{3} - 252 x^{3} - 2268 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.2

$252 x^{3}$ から $252 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} + 0 - 2268 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.3

$28 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x + 28 x^{5} - 2268 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.2

$- 14 x^{5}$ と $28 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{14 x^{5} - 252 x^{3} - 1134 x - 2268 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.3

$- 1134 x$ から $2268 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{14 x^{5} - 252 x^{3} - 3402 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1

$14 x$ を $14 x^{5} - 252 x^{3} - 3402 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1.1

$14 x$ を $14 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4}) - 252 x^{3} - 3402 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.2

$14 x$ を $- 252 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4}) + 14 x (- 18 x^{2}) - 3402 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.3

$14 x$ を $- 3402 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4}) + 14 x (- 18 x^{2}) + 14 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.4

$14 x$ を $14 x (x^{4}) + 14 x (- 18 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 14 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.5

$14 x$ を $14 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 14 x (- 243)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{14 x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{14 x (u^{2} - 18 u - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 18 u - 243$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 243$ で、その和が $- 18$ です。

$- 27, 9$

ステップ 2.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{14 x ((u - 27) (u + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5

$x^{2} + 9$ と ${(x^{2} + 9)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.1

$x^{2} + 9$ を $14 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (14 x (x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.2.1

$x^{2} + 9$ を ${(x^{2} + 9)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (14 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (14 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{14 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$ です。

$\frac{14 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{14 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{14 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$14 x (x^{2} - 27) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3.3

$x^{2} - 27$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2} - 27$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 27 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 27 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺に $27$ を足します。

$x^{2} = 27$

ステップ 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{27}$

ステップ 3.3.3.2.3

$\pm \sqrt{27}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

ステップ 3.3.3.2.3.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4

最終解は $14 x (x^{2} - 27) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{7 (0)}{{(0)}^{2} + 9}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$7$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 9}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 + 9}$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0}{9}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $9$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$3 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $3 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{7 (3 \sqrt{3})}{{(3 \sqrt{3})}^{2} + 9}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$7$ に $3$ をかけます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{{(3 \sqrt{3})}^{2} + 9}$

ステップ 4.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

積の法則を $3 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9}$

ステップ 4.3.2.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{9 {\sqrt{3}}^{2} + 9}$

ステップ 4.3.2.2.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9}$

ステップ 4.3.2.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9}$

ステップ 4.3.2.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9}$

ステップ 4.3.2.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9}$

ステップ 4.3.2.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3 + 9}$

ステップ 4.3.2.2.3.5

指数を求めます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3 + 9}$

ステップ 4.3.2.2.4

$9$ に $3$ をかけます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{27 + 9}$

ステップ 4.3.2.2.5

$27$ と $9$ をたし算します。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{21 \sqrt{3}}{36}$

ステップ 4.3.2.3

$21$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$3$ を $21 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{3 (7 \sqrt{3})}{36}$

ステップ 4.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.1

$3$ を $36$ で因数分解します。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{3 (7 \sqrt{3})}{3 (12)}$

ステップ 4.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{3 (7 \sqrt{3})}{3 \cdot 12}$

ステップ 4.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (3 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{12}$

ステップ 4.3.2.4

最終的な答えは $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ です。

$\frac{7 \sqrt{3}}{12}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$ で代入して $3 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(3 \sqrt{3}, \frac{7 \sqrt{3}}{12})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3 \sqrt{3}, \frac{7 \sqrt{3}}{12})$

ステップ 4.5

$- 3 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $- 3 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{7 (- 3 \sqrt{3})}{{(- 3 \sqrt{3})}^{2} + 9}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

$- 3$ に $7$ をかけます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{{(- 3 \sqrt{3})}^{2} + 9}$

ステップ 4.5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

積の法則を $- 3 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{{(- 3)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 9}$

ステップ 4.5.2.2.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{9 {\sqrt{3}}^{2} + 9}$

ステップ 4.5.2.2.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9}$

ステップ 4.5.2.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9}$

ステップ 4.5.2.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9}$

ステップ 4.5.2.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 9}$

ステップ 4.5.2.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3 + 9}$

ステップ 4.5.2.2.3.5

指数を求めます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{9 \cdot 3 + 9}$

ステップ 4.5.2.2.4

$9$ に $3$ をかけます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{27 + 9}$

ステップ 4.5.2.2.5

$27$ と $9$ をたし算します。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{36}$

ステップ 4.5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1

$- 21$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1.1

$3$ を $- 21 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{3 (- 7 \sqrt{3})}{36}$

ステップ 4.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1.2.1

$3$ を $36$ で因数分解します。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{3 (- 7 \sqrt{3})}{3 (12)}$

ステップ 4.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{3 (- 7 \sqrt{3})}{3 \cdot 12}$

ステップ 4.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{12}$

ステップ 4.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 3 \sqrt{3}) = - \frac{7 \sqrt{3}}{12}$

ステップ 4.5.2.4

最終的な答えは $- \frac{7 \sqrt{3}}{12}$ です。

$- \frac{7 \sqrt{3}}{12}$

ステップ 4.6

$f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 9}$ で代入して $- 3 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- 3 \sqrt{3}, - \frac{7 \sqrt{3}}{12})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3 \sqrt{3}, - \frac{7 \sqrt{3}}{12})$

ステップ 4.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (3 \sqrt{3}, \frac{7 \sqrt{3}}{12}), (- 3 \sqrt{3}, - \frac{7 \sqrt{3}}{12})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (- 3 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 5.29615242$ で置換えます。

$f'' (- 5.29615242) = \frac{14 (- 5.29615242) ({(- 5.29615242)}^{2} - 27)}{{({(- 5.29615242)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$14$ に $- 5.29615242$ をかけます。

$f'' (- 5.29615242) = \frac{- 74.14613391 ({(- 5.29615242)}^{2} - 27)}{{({(- 5.29615242)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 74.14613391$ に ${(- 5.29615242)}^{2} - 27$ をかけます。

$f'' (- 5.29615242) = \frac{- 77.79638401}{{({(- 5.29615242)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 5.29615242$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 5.29615242) = \frac{- 77.79638401}{{(28.04923048 + 9)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$28.04923048$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 5.29615242) = \frac{- 77.79638401}{{37.04923048}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$37.04923048$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 5.29615242) = \frac{- 77.79638401}{50855.45874343}$

ステップ 6.2.3

$- 77.79638401$ を $50855.45874343$ で割ります。

$f'' (- 5.29615242) = - 0.00152975$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.00152975$ です。

$- 0.00152975$

ステップ 6.3

$- 5.29615242$ で二次導関数は $- 0.00152975$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2.59807621$ で置換えます。

$f'' (- 2.59807621) = \frac{14 (- 2.59807621) ({(- 2.59807621)}^{2} - 27)}{{({(- 2.59807621)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$14$ に $- 2.59807621$ をかけます。

$f'' (- 2.59807621) = \frac{- 36.37306695 ({(- 2.59807621)}^{2} - 27)}{{({(- 2.59807621)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 36.37306695$ に ${(- 2.59807621)}^{2} - 27$ をかけます。

$f'' (- 2.59807621) = \frac{736.55460591}{{({(- 2.59807621)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$- 2.59807621$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.59807621) = \frac{736.55460591}{{(6.75 + 9)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$6.75$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 2.59807621) = \frac{736.55460591}{{15.75}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$15.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2.59807621) = \frac{736.55460591}{3906.984375}$

ステップ 7.2.3

$736.55460591$ を $3906.984375$ で割ります。

$f'' (- 2.59807621) = 0.18852253$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.18852253$ です。

$0.18852253$

ステップ 7.3

$- 2.59807621$ で二次導関数は $0.18852253$ です。これは正の値なので、 $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 3 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.59807621$ で置換えます。

$f'' (2.59807621) = \frac{14 (2.59807621) ({(2.59807621)}^{2} - 27)}{{({(2.59807621)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$14$ に $2.59807621$ をかけます。

$f'' (2.59807621) = \frac{36.37306695 ({2.59807621}^{2} - 27)}{{({2.59807621}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$36.37306695$ に ${2.59807621}^{2} - 27$ をかけます。

$f'' (2.59807621) = \frac{- 736.55460591}{{({2.59807621}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$2.59807621$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.59807621) = \frac{- 736.55460591}{{(6.75 + 9)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$6.75$ と $9$ をたし算します。

$f'' (2.59807621) = \frac{- 736.55460591}{{15.75}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$15.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (2.59807621) = \frac{- 736.55460591}{3906.984375}$

ステップ 8.2.3

$- 736.55460591$ を $3906.984375$ で割ります。

$f'' (2.59807621) = - 0.18852253$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.18852253$ です。

$- 0.18852253$

ステップ 8.3

$2.59807621$ で二次導関数は $- 0.18852253$ です。これは負の値なので、 $(0, 3 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 3 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 9

区間 $(3 \sqrt{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $5.29615242$ で置換えます。

$f'' (5.29615242) = \frac{14 (5.29615242) ({(5.29615242)}^{2} - 27)}{{({(5.29615242)}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$14$ に $5.29615242$ をかけます。

$f'' (5.29615242) = \frac{74.14613391 ({5.29615242}^{2} - 27)}{{({5.29615242}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$74.14613391$ に ${5.29615242}^{2} - 27$ をかけます。

$f'' (5.29615242) = \frac{77.79638401}{{({5.29615242}^{2} + 9)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$5.29615242$ を $2$ 乗します。

$f'' (5.29615242) = \frac{77.79638401}{{(28.04923048 + 9)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

$28.04923048$ と $9$ をたし算します。

$f'' (5.29615242) = \frac{77.79638401}{{37.04923048}^{3}}$

ステップ 9.2.2.3

$37.04923048$ を $3$ 乗します。

$f'' (5.29615242) = \frac{77.79638401}{50855.45874343}$

ステップ 9.2.3

$77.79638401$ を $50855.45874343$ で割ります。

$f'' (5.29615242) = 0.00152975$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $0.00152975$ です。

$0.00152975$

ステップ 9.3

$5.29615242$ で二次導関数は $0.00152975$ です。これは正の値なので、 $(3 \sqrt{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(3 \sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3 \sqrt{3}, - \frac{7 \sqrt{3}}{12}), (0, 0), (3 \sqrt{3}, \frac{7 \sqrt{3}}{12})$ .

$(- 3 \sqrt{3}, - \frac{7 \sqrt{3}}{12}), (0, 0), (3 \sqrt{3}, \frac{7 \sqrt{3}}{12})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例