微分積分例

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 2 (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 4 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 4$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 4$ です。

$6 x - 4$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 4 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$6 x = 4$

ステップ 1.2.3

$6 x = 4$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$6 x = 4$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{6}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2)}{6}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \frac{2}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 6 (0) - 4$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$6$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 4$

ステップ 4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$f'' (0) = - 4$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, \frac{2}{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, \frac{2}{3})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(\frac{2}{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 6 (3) - 4$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = 18 - 4$

ステップ 5.2.2

$18$ から $4$ を引きます。

$f'' (3) = 14$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $14$ です。

$14$

ステップ 5.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(\frac{2}{3}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{2}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, \frac{2}{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{2}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例