微分積分例

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

ステップ 1

積分を2つの積分に分割し、 $c$ が $x$ と $2 x$ の間の値になるようにます。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

ステップ 2

総和則では、 $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

ステップ 3

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

ステップ 4

微積分学の基本定理を利用して、 $x$ に関する $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ の微分係数を取ります。

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

ステップ 5

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ の微分係数を取ります。

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

ステップ 6.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

ステップ 6.3.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

ステップ 6.3.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

ステップ 6.3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

ステップ 6.3.3.3

$4$ に $12$ をかけます。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

ステップ 6.3.3.4

$2$ に $- 6$ をかけます。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

ステップ 7.3

項をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$12$ に $- 1$ をかけます。

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

ステップ 7.3.2

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

ステップ 7.3.3

$48$ に $2$ をかけます。

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

ステップ 7.3.4

$- 12$ に $2$ をかけます。

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

ステップ 7.3.5

$- 12 x^{2}$ と $96 x^{2}$ をたし算します。

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

ステップ 7.3.6

$6 x$ から $24 x$ を引きます。

$84 x^{2} - 18 x$

微分積分 例

微分積分例