微分積分例

$\frac{d}{d x} (\int x^{11} d x)$

ステップ 1

$d$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int x^{11} d x]$

ステップ 1.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int x^{11} d x]$

ステップ 2

$f (x) = \frac{1}{x}$ および $g (x) = \int x^{11} d x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\int x^{11} d x] + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3

$\int x^{11} d x$ は $x^{11}$ の不定積分ですので、定義により $\frac{d}{d x} [\int x^{11} d x]$ は $x^{11}$ です。

$\frac{1}{x} x^{11} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ と $x^{11}$ をまとめます。

$\frac{x^{11}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2

$x^{11}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{11}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x^{1}} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{10}}{1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.2.2.5

$x^{10}$ を $1$ で割ります。

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{10} + \int x^{11} d x (- x^{- 2})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x^{10} + \int x^{11} d x (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$x^{10} - \frac{1}{x^{2}} \int x^{11} d x$

ステップ 6.3

$- \frac{1}{x^{2}}$ と $\int x^{11} d x$ をまとめます。

$x^{10} - \frac{\int x^{11} d x}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例