微分積分例

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

ステップ 1.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = 1$

ステップ 1.3

$x = 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ の $1$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

括弧を削除します。

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

$(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

$e^{{(1)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$y = e^{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y = e^{1}$

ステップ 1.3.2.3.3

簡約します。

$y = e$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(1, e)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

ステップ 3

積分し、 $1$ と $e$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

ステップ 3.2

$- 1$ に $e^{x}$ をかけます。

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

ステップ 3.4

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 3.4.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 3.4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 3.4.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 3.4.2

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

ステップ 3.4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = e^{1}$

ステップ 3.4.3.2

簡約します。

$u_{lower} = e$

ステップ 3.4.4

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

ステップ 3.4.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

ステップ 3.4.6

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

ステップ 3.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

ステップ 3.7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

ステップ 3.8

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$e^{e^{2}}$ および $e$ で $\frac{1}{2} u_{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

ステップ 3.8.2

$e$ および $1$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

ステップ 3.8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

ステップ 3.8.3.2

$e$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

ステップ 3.8.3.3

簡約します。

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

ステップ 3.8.3.4

$- (e^{e} - e)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

ステップ 3.8.3.5

$- (e^{e} - e)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

ステップ 3.8.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

ステップ 3.8.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

ステップ 3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

ステップ 3.9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

ステップ 3.9.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

ステップ 3.9.3

$2 e$ から $e$ を引きます。

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例