微分積分例

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[- 1, 1]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{5}{x^{2} + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 1.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 1.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 1.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 1.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[- 1, 1]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

ステップ 8

$1$ および $- 1$ で $\arctan (x)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

ステップ 9.1.2

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

ステップ 9.1.3

$- - \frac{π}{4}$ を掛けます。

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ステップ 9.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

ステップ 9.1.3.2

$\frac{π}{4}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

ステップ 9.2

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

ステップ 9.3

$π$ と $π$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

ステップ 9.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

ステップ 9.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

ステップ 9.4.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

ステップ 9.4.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

ステップ 9.5

$5$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

ステップ 10

$1$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5 π}{2}$ をかけます。

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

ステップ 12

微分積分 例

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