微分積分例

$y = 2 e^{- x}$ ; $[0, 5]$

ステップ 1

$y = 2 e^{- x}$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 e^{- x}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f (x)$ は $[0, 5]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 2 e^{- x} d x)$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

ステップ 7

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 7.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 7.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 7.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 7.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

ステップ 7.5

$- 1$ に $5$ をかけます。

$u_{upper} = - 5$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

ステップ 7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u))$

ステップ 9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$- 5$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 ((e^{- 5}) - e^{0}))$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

ステップ 11.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \frac{1}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

ステップ 12.3

$- 2$ と $\frac{1}{e^{5}}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

ステップ 12.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} + 2)$

ステップ 12.5

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

ステップ 13

分母を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

ステップ 13.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

ステップ 14

項を簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 2$

ステップ 14.2

$\frac{1}{5}$ に $\frac{2}{e^{5}}$ をかけます。

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 2$

ステップ 14.3

$\frac{1}{5}$ と $2$ をまとめます。

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{2}{5}$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例