微分積分例

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[3, 8]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[3, 8]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x (x - 1) d x)$

ステップ 5

$x (x - 1)$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

ステップ 6.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

ステップ 6.3

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

ステップ 6.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - x d x)$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} d x + \int_{3}^{8} - x d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} + \int_{3}^{8} - x d x)$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - \int_{3}^{8} x d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{8}))$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

ステップ 11.2

代入し簡約します。

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ステップ 11.2.1

$8$ および $3$ で $\frac{1}{3} x^{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

ステップ 11.2.2

$8$ および $3$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 8^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$8$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $512$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.3

$3$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 27 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.4

$27$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 27 (\frac{1}{3}) - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.5

$- 27$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.6

$- 27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.6.1

$3$ を $- 27$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9}{1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.6.2.4

$- 9$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.7

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.8

$- 9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.3.10.1

$- 9$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.10.2

$512$ から $27$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.11

$8$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{64}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.12

$64$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.12.1

$2$ を $64$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.12.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.12.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32}{1} - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.12.2.4

$32$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{3^{2}}{2}))$

ステップ 11.2.3.13

$3$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{9}{2}))$

ステップ 11.2.3.14

$32$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}))$

ステップ 11.2.3.15

$32$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}))$

ステップ 11.2.3.16

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{32 \cdot 2 - 9}{2})$

ステップ 11.2.3.17

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.3.17.1

$32$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{64 - 9}{2})$

ステップ 11.2.3.17.2

$64$ から $9$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{55}{2})$

ステップ 11.2.3.18

$\frac{485}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2})$

ステップ 11.2.3.19

$- \frac{55}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 11.2.3.20

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.2.3.20.1

$\frac{485}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 11.2.3.20.2

$3$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 11.2.3.20.3

$\frac{55}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

ステップ 11.2.3.20.4

$2$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{6})$

ステップ 11.2.3.21

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2 - 55 \cdot 3}{6})$

ステップ 11.2.3.22

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.3.22.1

$485$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 55 \cdot 3}{6})$

ステップ 11.2.3.22.2

$- 55$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 165}{6})$

ステップ 11.2.3.22.3

$970$ から $165$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{805}{6})$

ステップ 12

$8$ から $3$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{805}{6}$

ステップ 13

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$5$ を $805$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (161)}{6}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 161}{6}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{161}{6}$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例