微分積分例

$f (x) = x^{3} + 8 x + 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 8 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 8 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 8 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$3 x^{2} + 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 8$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 8$ です。

$3 x^{2} + 8$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$3 x^{2} = - 8$

ステップ 2.3

$3 x^{2} = - 8$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3 x^{2} = - 8$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 8}{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{8}{3}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{8}{3}}$

ステップ 2.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{8}{3}}$

ステップ 2.5.3

$\sqrt{\frac{8}{3}}$ を $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.4.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.5

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 2.5.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.6.1

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.6.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.6.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.5.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.5.6.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.6.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.5.6.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.5.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.7.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

ステップ 2.5.7.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.5.8

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.8.1

$i$ と $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{6})}{3}$

ステップ 2.5.8.2

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 3 x^{2} + 8$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = x^{3} + 8 x + 7$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = 3 x^{2} + 8$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 8$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 8$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 3 + 8$

ステップ 5.2.2

$3$ と $8$ をたし算します。

$f' (1) = 11$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $11$ です。

$11$

ステップ 6

$1$ を $f' (x) = 3 x^{2} + 8$ に代入した結果は $11$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$3 x^{2} + 8 > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

常に増加

ステップ 8

微分積分 例

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