微分積分例

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $e^{x} - 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} - 3 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = e^{x} - 6 x$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 6 x + e^{x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 6 x + e^{x}$ です。

$- 6 x + e^{x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 6 x + e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 6 x + e^{x} = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx 0.20448144, 2.83314789$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0.20448144, 2.83314789$ です。

$0.20448144, 2.83314789$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0.20448144) \cup (0.20448144, 2.83314789) \cup (2.83314789, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0.20448144)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.79551855$ で置換えます。

$f' (- 0.79551855) = - 6 \cdot - 0.79551855 + e^{- 0.79551855}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 6$ に $- 0.79551855$ をかけます。

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + e^{- 0.79551855}$

ステップ 5.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + \frac{1}{e^{0.79551855}}$

ステップ 5.2.2

$4.7731113$ と $\frac{1}{e^{0.79551855}}$ をたし算します。

$f' (- 0.79551855) = 5.22445842$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $5.22445842$ です。

$5.22445842$

ステップ 5.3

$x = - 0.79551855$ で微分係数は $5.22445842$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0.20448144)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0.20448144)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0.20448145, 2.83314789)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.51881472$ で置換えます。

$f' (1.51881472) = - 6 \cdot 1.51881472 + e^{1.51881472}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 6$ に $1.51881472$ をかけます。

$f' (1.51881472) = - 9.11288835 + e^{1.51881472}$

ステップ 6.2.2

$- 9.11288835$ と $e^{1.51881472}$ をたし算します。

$f' (1.51881472) = - 4.54607928$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 4.54607928$ です。

$- 4.54607928$

ステップ 6.3

$x = 1.51881472$ で微分係数は $- 4.54607928$ です。これは負の値なので、関数は $(0.20448145, 2.83314789)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0.20448144, 2.83314789)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2.83314789, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3.833148$ で置換えます。

$f' (3.833148) = - 6 \cdot 3.833148 + e^{3.833148}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 6$ に $3.833148$ をかけます。

$f' (3.833148) = - 22.998888 + e^{3.833148}$

ステップ 7.2.2

$- 22.998888$ と $e^{3.833148}$ をたし算します。

$f' (3.833148) = 23.20888358$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $23.20888358$ です。

$23.20888358$

ステップ 7.3

$x = 3.833148$ で微分係数は $23.20888358$ です。これは正の値なので、関数は $(2.83314789, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2.83314789, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0.20448144), (2.83314789, \infty)$ で増加

$(0.20448144, 2.83314789)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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