微分積分例

$\sin (2 \arccos (x))$

ステップ 1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (\arccos (x)) \cos (\arccos (x))$

ステップ 2

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 2.1

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$2 \sqrt{1 - x^{2}} \cos (\arccos (x))$

ステップ 2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 \sqrt{1^{2} - x^{2}} \cos (\arccos (x))$

ステップ 3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cos (\arccos (x))$

ステップ 4

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

微分積分 例

微分積分例