微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.2.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.2.1.3

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\infty - \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.2.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\infty - \frac{1}{4} \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- \frac{1}{4} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\infty + 0 (\frac{1}{4})}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.2.3.1.2

$0$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.2.3.2

$\infty$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 1.3.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty + 0}$

ステップ 1.3.3

$\infty$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $6 x - \frac{1}{4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{4 x}$ の微分係数は $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.4.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + 1 (\frac{1}{4}) x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.4.5

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.4.6

$\frac{1}{4}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{- 2}}{4}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.4.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $3 x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 3.7.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 3.8.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - x^{- 2}}$

ステップ 3.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 3.10

項を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6 \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

ステップ 4.2

$6$ と $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + \frac{6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

ステップ 4.4

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{\frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 5.3

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 24 x^{2}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 7.1.2

$24$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 7.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $24$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 9.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 10

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 11

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 11.1.2

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 11.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

ステップ 11.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{1}}$

ステップ 11.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

ステップ 11.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

ステップ 12

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- 0 + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

ステップ 13

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

ステップ 13.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{1}}$

ステップ 13.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$0 + 24$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{\frac{0 + 3}{1}}$

ステップ 13.3.2

$0 + 3$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{0 + 3}$

ステップ 13.3.3

$0 + 24$ と $0 + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.3.1

$3$ を $\frac{1}{4} (0 + 24)$ で因数分解します。

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{0 + 3}$

ステップ 13.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.3.2.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 (0) + 3}$

ステップ 13.3.3.2.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 1}$

ステップ 13.3.3.2.3

$3$ を $3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

ステップ 13.3.3.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

ステップ 13.3.3.2.5

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 8)}{0 + 1}$

ステップ 13.3.4

$0$ と $8$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{0 + 1}$

ステップ 13.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{1}$

ステップ 13.3.6

$\frac{1}{4}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{\frac{8}{4}}{1}$

ステップ 13.3.7

$8$ を $4$ で割ります。

$\frac{2}{1}$

ステップ 13.3.8

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

微分積分 例

微分積分例