微分積分例

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - \frac{1}{x} - 1$ です。

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 2.3

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ の各項に $x$ を掛けます。

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

群による因数分解。

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ステップ 2.4.1.1

項を並べ替えます。

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

ステップ 2.4.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.4.1.2.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

ステップ 2.4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.1.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.4.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

ステップ 2.4.1.4

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.3

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.3.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.4.3.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.3.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4.5

最終解は $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} - x - \ln (x)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{1}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{1}{2}) - \ln (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2

負の数の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - (1) - \ln (1)$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - 1 - \ln (1)$

ステップ 4.2.2.1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$1 - 1 - 0$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$1 - 1 + 0$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.3

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} - (0) - \ln (0)$

ステップ 4.3.2

0の自然対数は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

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