微分積分例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.7.4

$\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.10

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.11.2

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.12

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 1.1.13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.1.14

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.15

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.16

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.16.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 1.1.16.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 1.1.17

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.18

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 1.1.19

${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.21

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.1.22

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.23

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.1.23.1

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.23.2

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.23.3

$3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.24

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.25

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.25.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.25.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.25.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.25.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.25.5

$3$ を $3$ で割ります。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.26

$2 x^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.27

指数を足して ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.27.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.27.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.27.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.27.4

$3$ を $3$ で割ります。

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.28

${(x + 3)}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.29

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.30

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.31

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.32

$3$ を $3 (x) + 3 (1)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.33

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.33.1

$3$ を $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.1.33.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.1.33.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{{(x + 3)}^{1}}}$

ステップ 3.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$

ステップ 3.2

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.3.2.2.1.1.1

積の法則を $x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3}$ に当てはめます。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ を $x + 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.2.2.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} {(x + 3)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2.5

簡約します。

$x^{2} (x + 3) = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.4.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.5

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{3} + 3 x^{2} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{3} + 3 x^{2} = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2}$ を $x^{3} + 3 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x + 3 x^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0$

ステップ 3.3.3.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 3) = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3.3.3.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.3.3.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.3.3.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.3.3.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.3.3.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.3.3.4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.3.3.4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.3.3.5

最終解は $x^{2} (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 3.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 3, x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(- 1)}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.2.2

式を書き換えます。

${(- 1)}^{1} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.3

指数を求めます。

$- 1 {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$- 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2.5

$- 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ を $- 2^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$- 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} {((- 3) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.2.2

式を書き換えます。

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{2}$

ステップ 4.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0$

ステップ 4.2.2.3.2

${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.3

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{\frac{1}{3}} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0^{3 (\frac{1}{3})} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$0^{3 (\frac{1}{3})} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.2.2

式を書き換えます。

$0^{1} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.3

指数を求めます。

$0 {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$0 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.3.2.5

$0$ に $3^{\frac{2}{3}}$ をかけます。

$0$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - 2^{\frac{2}{3}}), (- 3, 0), (0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例