微分積分例

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \tan^{-1} (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ です。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$x$ に関する $\tan^{-1} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$5$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.1.1

$- 9 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.1.2

$- 9 x^{2}$ と $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ です。

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.3.1.2

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.3.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

ステップ 2.3.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

ステップ 2.3.1.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

ステップ 2.3.2

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.4

$a = - 9$ 、 $b = - 9$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5.1.2.2

$36$ に $5$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5.1.3

$81$ と $180$ をたし算します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5.1.4

$261$ を $3^{2} \cdot 29$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.4.1

$9$ を $261$ で因数分解します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ を簡約します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

ステップ 2.3.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

ステップ 2.3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.6.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.2.1

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.6.1.2.2

$36$ に $5$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.6.1.3

$81$ と $180$ をたし算します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.6.1.4

$261$ を $3^{2} \cdot 29$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.4.1

$9$ を $261$ で因数分解します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.6.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.6.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

ステップ 2.3.6.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ を簡約します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

ステップ 2.3.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

ステップ 2.3.6.5

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

ステップ 2.3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.7.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.2.1

$- 4$ に $- 9$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.7.1.2.2

$36$ に $5$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.7.1.3

$81$ と $180$ をたし算します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.7.1.4

$261$ を $3^{2} \cdot 29$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.4.1

$9$ を $261$ で因数分解します。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.7.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

ステップ 2.3.7.2

$2$ に $- 9$ をかけます。

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

ステップ 2.3.7.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ を簡約します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

ステップ 2.3.7.4

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

ステップ 2.3.7.5

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

ステップ 2.3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

ステップ 2.3.9

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

ステップ 2.3.10

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = - 1.39752746$

ステップ 2.3.11

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

ステップ 2.3.11.2

$\pm \sqrt{- 1.39752746}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.2.1

$- 1.39752746$ を $- 1 (1.39752746)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

ステップ 2.3.11.2.2

$\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

ステップ 2.3.11.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

ステップ 2.3.11.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{1.39752746}$

ステップ 2.3.11.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

ステップ 2.3.11.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

ステップ 2.3.12

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

ステップ 2.3.13

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.13.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 0.39752746$

ステップ 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

ステップ 2.3.13.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.13.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{0.39752746}$

ステップ 2.3.13.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{0.39752746}$

ステップ 2.3.13.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

ステップ 2.3.14

$- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ の解は $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ です。

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \sqrt{0.39752746}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt{0.39752746}$ を $x$ に代入します。

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ の値を求めます。

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$5$ に $0.56254301$ をかけます。

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ を $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ に書き換えます。

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

ステップ 4.1.2.1.4

$0.39752746$ を $3$ 乗します。

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

ステップ 4.1.2.2

$2.81271509$ から $3 \sqrt{0.0628205}$ を引きます。

$2.06079452$

ステップ 4.2

$x = - \sqrt{0.39752746}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- \sqrt{0.39752746}$ を $x$ に代入します。

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ の値を求めます。

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ に $- 0.56254301$ をかけます。

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.3

積の法則を $- \sqrt{0.39752746}$ に当てはめます。

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

ステップ 4.2.2.1.5

${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ を $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ に書き換えます。

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

ステップ 4.2.2.1.6

$0.39752746$ を $3$ 乗します。

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

ステップ 4.2.2.1.7

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

ステップ 4.2.2.2

$- 2.81271509$ と $3 \sqrt{0.0628205}$ をたし算します。

$- 2.06079452$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例