微分積分例

$f (x) = (x - 3) e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 3) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(x - 3) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 3) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 3) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 3) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$(x - 3) e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$x e^{x} - 3 e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.1.4.2

$- 3 e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 1.1.4.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x - 2 e^{x}$

ステップ 1.1.4.4

$e^{x} x - 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x e^{x} - 2 e^{x}$ です。

$x e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x} - 2 e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x} - 2 e^{x} = 0$

ステップ 2.2

$e^{x}$ を $x e^{x} - 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x - 2 e^{x} = 0$

ステップ 2.2.2

$e^{x}$ を $- 2 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + e^{x} \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot - 2$ で因数分解します。

$e^{x} (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $e^{x} (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $(x - 3) e^{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$((2) - 3) \cdot e^{2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ から $3$ を引きます。

$- 1 \cdot e^{2}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1 e^{2}$ を $- e^{2}$ に書き換えます。

$- e^{2}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(2, - e^{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例