微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (2 x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.1.3

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.1.5

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

$- 3 x$ から $4 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.3

$- 7 x$ と $3 x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.4

$6$ と $4$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ です。

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.2

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = 10$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$- 4$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.3

$16$ から $40$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.4

$- 24$ を $- 1 (24)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.7

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.7.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

ステップ 2.3.3.3

$\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

ステップ 2.3.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.2.2

$- 4$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.3

$16$ から $40$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.4

$- 24$ を $- 1 (24)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.7

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.7.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

ステップ 2.3.4.3

$\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

ステップ 2.3.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 2 + i \sqrt{6}$

ステップ 2.3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.2.2

$- 4$ に $10$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.3

$16$ から $40$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.4

$- 24$ を $- 1 (24)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.5

$\sqrt{- 1 (24)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.7

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.7.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

ステップ 2.3.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 2 - i \sqrt{6}$

ステップ 2.3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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