微分積分例

$C (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$t$ と $\frac{1}{30}$ をまとめます。

$f' (t) = \frac{d}{d t} (3 t e^{- \frac{t}{30}})$

ステップ 1.1.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{30}}]$ です。

$f' (t) = 3 \frac{d}{d t} (t e^{- \frac{t}{30}})$

ステップ 1.1.2

$f (t) = t$ および $g (t) = e^{- \frac{t}{30}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (t) = 3 (t \frac{d}{d t} (e^{- \frac{t}{30}}) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - \frac{t}{30}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{t}{30}$ とします。

$f' (t) = 3 (t (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (t) = 3 (t (e^{u} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{t}{30}$ で置き換えます。

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- \frac{1}{30}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{t}{30}$ の微分係数は $- \frac{1}{30} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{1}{30} \cdot \frac{d}{d t} t)) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$e^{- \frac{t}{30}}$ と $\frac{1}{30}$ をまとめます。

$f' (t) = 3 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.4.2.2

$t$ と $\frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ をまとめます。

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

ステップ 1.1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 1)$

ステップ 1.1.4.6

$e^{- \frac{t}{30}}$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}})$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}) + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.5.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (t) = - 3 \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.1.5.2.2

$- 3$ と $\frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ をまとめます。

$f' (t) = \frac{- 3 (t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.1.5.2.3

$- 3$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.2.3.1

$3$ を $- 3 t e^{- \frac{t}{30}}$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.1.5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.2.3.2.1

$3$ を $30$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 (10)} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.1.5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 \cdot 10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.1.5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (t) = \frac{- t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.1.5.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (t) = - \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 1.2

$t$ に関する $C (t)$ の一次導関数は $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ です。

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

ステップ 2.2

$e^{- \frac{t}{30}}$ を $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$e^{- \frac{t}{30}}$ を $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10}$ で因数分解します。

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

ステップ 2.2.2

$e^{- \frac{t}{30}}$ を $3 e^{- \frac{t}{30}}$ で因数分解します。

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.3

$e^{- \frac{t}{30}}$ を $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3$ で因数分解します。

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

ステップ 2.4

$e^{- \frac{t}{30}}$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$e^{- \frac{t}{30}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

ステップ 2.4.2

$t$ について $e^{- \frac{t}{30}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$- \frac{t}{10} + 3$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$- \frac{t}{10} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$t$ について $- \frac{t}{10} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- \frac{t}{10} = - 3$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺に $- 10$ を掛けます。

$- 10 (- \frac{t}{10}) = - 10 \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 10 (- \frac{t}{10})$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1.1.1

$- \frac{t}{10}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 10 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.3.1.1.1.2

$10$ を $- 10$ で因数分解します。

$10 (- 1) \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.3.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$10 \cdot - 1 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.3.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - t = - 10 \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.3.1.1.2

掛け算します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 t = - 10 \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.3.1.1.2.2

$t$ に $1$ をかけます。

$t = - 10 \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.2.1

$- 10$ に $- 3$ をかけます。

$t = 30$

ステップ 2.6

最終解は $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 30$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $t$ における $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$t = 30$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$30$ を $t$ に代入します。

$3 (30) \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ に $30$ をかけます。

$90 \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

ステップ 4.1.2.2

$30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- \frac{1}{30}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

ステップ 4.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

ステップ 4.1.2.2.3

式を書き換えます。

$90 \cdot e^{- 1}$

ステップ 4.1.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$90 \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 4.1.2.4

$90$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{90}{e}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(30, \frac{90}{e})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例