微分積分例

$y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 1

$y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 5)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2} - 5$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2} - 5$ で置き換えます。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $\frac{x}{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.2

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.3

$\frac{4}{2}$ と ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ をまとめます。

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.4.1

$2$ を $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.4.2.3

式を書き換えます。

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.6.4.2.4

$2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $1$ で割ります。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

ステップ 2.3.8

${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2.4.1.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2.4.1.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で因数分解します。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.4.1.4

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ で因数分解します。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.4.2.2

$2 x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

ステップ 2.4.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

ステップ 2.4.2.5

$4 x$ と $x$ をたし算します。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ および $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $\frac{5 x}{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2.2

$\frac{5}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{2}$ の微分係数は $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2.4

$\frac{5}{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$\frac{5}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2.6.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.2.6.3

$5$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2} - 5$ とします。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2} - 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$3$ を $\frac{5 x}{2} - 5$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

ステップ 3.4.2

総和則では、 $\frac{x}{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 3.4.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 3.4.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 3.4.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

ステップ 3.4.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

ステップ 3.4.7.2

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

ステップ 3.4.7.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 3.4.7.4

$3$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 3.5

$\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.6

$\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

ステップ 3.8

$2$ と $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.9

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.10

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$2$ を $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.10.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.10.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.10.2.4

$3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 3.11.1.1.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 3.11.1.1.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 3.11.1.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 3.11.1.3

$5$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 3.11.1.4

$5$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 3.11.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

ステップ 3.11.1.6

$3 \frac{5 x}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.6.1

$3$ と $\frac{5 x}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

ステップ 3.11.1.6.2

$5$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

ステップ 3.11.1.7

$3$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

ステップ 3.11.1.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

ステップ 3.11.1.9

$- 25$ から $15$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.10

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.11

$- 5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.12

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.13

$- 5$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.14

$5 x$ と $15 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.15

$20$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.15.1

$2$ を $20 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.15.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.15.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.15.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.15.2.4

$10 x$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.16

積の法則を $\frac{x - 10}{2}$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.17

$10$ を $10 x - 40$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.17.1

$10$ を $10 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

ステップ 3.11.1.17.2

$10$ を $- 40$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

ステップ 3.11.1.17.3

$10$ を $10 x + 10 \cdot - 4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

ステップ 3.11.1.18

$\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ と $10$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 3.11.1.19

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 3.11.1.20

$10$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.20.1

$2$ を ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 3.11.1.20.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.20.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 3.11.1.20.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 3.11.1.20.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 3.11.1.21

$5$ を ${(x - 10)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 3.11.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

ステップ 3.11.3

$\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ を $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

ステップ 3.11.4

$\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.4.1

$\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ に $\frac{x - 4}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.11.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2} - 5$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2} - 5$ で置き換えます。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

総和則では、 $\frac{x}{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6.2

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6.3

$\frac{4}{2}$ と ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.6.4.1

$2$ を $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.6.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6.4.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.6.4.2.4

$2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

ステップ 5.1.3.8

${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1.1

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 5.1.4.1.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 5.1.4.1.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

ステップ 5.1.4.1.4

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ で因数分解します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 5.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.2.1

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 5.1.4.2.2

$2 x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 5.1.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

ステップ 5.1.4.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

ステップ 5.1.4.2.5

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ です。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

ステップ 6.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\frac{x}{2} - 5$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{x}{2} - 5 = 0$

ステップ 6.3.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$\frac{x}{2} = 5$

ステップ 6.3.2.2.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.2.2.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.2.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \cdot 5$

ステップ 6.3.2.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.2.1

$2$ に $5$ をかけます。

$x = 10$

ステップ 6.4

$\frac{5 x}{2} - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{5 x}{2} - 5$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $\frac{5 x}{2} - 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$\frac{5 x}{2} = 5$

ステップ 6.4.2.2

方程式の両辺に $\frac{2}{5}$ を掛けます。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

ステップ 6.4.2.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.1

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

ステップ 6.4.2.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

ステップ 6.4.2.3.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.1.2.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 5$

ステップ 6.4.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

ステップ 6.4.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

ステップ 6.4.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

ステップ 6.4.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$x = 2$

ステップ 6.5

最終解は ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 10, 2$

ステップ 9

$x = 10$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)}{4}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$(10) - 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2$ を $5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{4}$

ステップ 10.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 (2)}$

ステップ 10.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2)}{2}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$10$ から $10$ を引きます。

$\frac{5 \cdot 0^{2} (5 - 2)}{2}$

ステップ 10.2.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{5 \cdot 0^{2} \cdot 3}{2}$

ステップ 10.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{15 \cdot 0^{2}}{2}$

ステップ 10.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{15 \cdot 0}{2}$

ステップ 10.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$15$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{2}$

ステップ 10.3.2

$0$ を $2$ で割ります。

$0$

ステップ 11

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 2) \cup (2, 10) \cup (10, \infty)$

ステップ 11.2

一次導関数 ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ の区間 $(- \infty, 2)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 11.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

ステップ 11.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ を $2$ で割ります。

$f' (0) = {(0 - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

ステップ 11.2.2.2

$0$ から $5$ を引きます。

$f' (0) = {(- 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

ステップ 11.2.2.3

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f' (0) = - 125 (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

ステップ 11.2.2.4

$5$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = - 125 (\frac{0}{2} - 5)$

ステップ 11.2.2.5

$0$ を $2$ で割ります。

$f' (0) = - 125 (0 - 5)$

ステップ 11.2.2.6

$0$ から $5$ を引きます。

$f' (0) = - 125 \cdot - 5$

ステップ 11.2.2.7

$- 125$ に $- 5$ をかけます。

$f' (0) = 625$

ステップ 11.2.2.8

最終的な答えは $625$ です。

$625$

ステップ 11.3

一次導関数 ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ の区間 $(2, 10)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 11.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = {(\frac{6}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

ステップ 11.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

$6$ を $2$ で割ります。

$f' (6) = {(3 - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

ステップ 11.3.2.2

$3$ から $5$ を引きます。

$f' (6) = {(- 2)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

ステップ 11.3.2.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = - 8 (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

ステップ 11.3.2.4

$5$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = - 8 (\frac{30}{2} - 5)$

ステップ 11.3.2.5

$30$ を $2$ で割ります。

$f' (6) = - 8 (15 - 5)$

ステップ 11.3.2.6

$15$ から $5$ を引きます。

$f' (6) = - 8 \cdot 10$

ステップ 11.3.2.7

$- 8$ に $10$ をかけます。

$f' (6) = - 80$

ステップ 11.3.2.8

最終的な答えは $- 80$ です。

$- 80$

ステップ 11.4

一次導関数 ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ の区間 $(10, \infty)$ から $12$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 11.4.1

式の変数 $x$ を $12$ で置換えます。

$f' (12) = {(\frac{12}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

ステップ 11.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.4.2.1

$12$ を $2$ で割ります。

$f' (12) = {(6 - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

ステップ 11.4.2.2

$6$ から $5$ を引きます。

$f' (12) = 1^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

ステップ 11.4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (12) = 1 (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

ステップ 11.4.2.4

$\frac{5 (12)}{2} - 5$ に $1$ をかけます。

$f' (12) = \frac{5 (12)}{2} - 5$

ステップ 11.4.2.5

$5$ に $12$ をかけます。

$f' (12) = \frac{60}{2} - 5$

ステップ 11.4.2.6

$60$ を $2$ で割ります。

$f' (12) = 30 - 5$

ステップ 11.4.2.7

$30$ から $5$ を引きます。

$f' (12) = 25$

ステップ 11.4.2.8

最終的な答えは $25$ です。

$25$

ステップ 11.5

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 2$ は極大値です。

$x = 2$ は極大値です

ステップ 11.6

$x = 10$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 10$ は極小値です。

$x = 10$ は極小値です

ステップ 11.7

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ の極値です。

$x = 2$ は極大値です

$x = 10$ は極小値です

$x = 2$ は極大値です

$x = 10$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例