微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.3.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 6 x - 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 6 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 1.2.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.4.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 6 + 0$

ステップ 1.2.4.2

$6 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 6$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 6$ です。

$6 x - 6$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 6 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$6 x = 6$

ステップ 2.3

$6 x = 6$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$6 x = 6$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{6}{6}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$6$ を $6$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$1$ を $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 + 5$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 + 5$

ステップ 3.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 5$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 3 - 9 \cdot 1 + 5$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 3 - 9 + 5$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = - 2 - 9 + 5$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 2$ から $9$ を引きます。

$f (1) = - 11 + 5$

ステップ 3.1.2.2.3

$- 11$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = - 6$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, - 6)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, - 6)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.9$ で置換えます。

$f'' (0.9) = 6 (0.9) - 6$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $0.9$ をかけます。

$f'' (0.9) = 5.4 - 6$

ステップ 5.2.2

$5.4$ から $6$ を引きます。

$f'' (0.9) = - 0.6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

ステップ 5.3

$0.9$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = 6 (1.1) - 6$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$6$ に $1.1$ をかけます。

$f'' (1.1) = 6.6 - 6$

ステップ 6.2.2

$6.6$ から $6$ を引きます。

$f'' (1.1) = 0.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

ステップ 6.3

$1.1$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(1, - 6)$ です。

$(1, - 6)$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例