微分積分例

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 1

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2} - 5$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2} - 5$ で置き換えます。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

総和則では、 $\frac{x}{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6.2

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6.3

$\frac{4}{2}$ と ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.4.1

$2$ を $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6.4.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.6.4.2.4

$2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

ステップ 2.1.3.8

${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1.1

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2.1.4.1.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 2.1.4.1.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.1.4.1.4

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ で因数分解します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.1.4.2.2

$2 x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.1.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

ステップ 2.1.4.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

ステップ 2.1.4.2.5

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ および $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

総和則では、 $\frac{5 x}{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{5}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{2}$ の微分係数は $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{5}{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$\frac{5}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2.6.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.2.6.3

$5$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2} - 5$ とします。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

ステップ 2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2} - 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$3$ を $\frac{5 x}{2} - 5$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $\frac{x}{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 2.2.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 2.2.4.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 2.2.4.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

ステップ 2.2.4.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.7.1

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

ステップ 2.2.4.7.2

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

ステップ 2.2.4.7.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 2.2.4.7.4

$3$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

ステップ 2.2.5

$\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.6

$\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.7

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.8

$2$ と $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.9

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.10

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$2$ を $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.10.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.10.2.4

$3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.1.1

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.1.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 2.2.11.1.1.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ を ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 2.2.11.1.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 2.2.11.1.3

$5$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 2.2.11.1.4

$5$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

ステップ 2.2.11.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.6

$3 \frac{5 x}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.6.1

$3$ と $\frac{5 x}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.6.2

$5$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.7

$3$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.9

$- 25$ から $15$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.10

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.11

$- 5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.12

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.13

$- 5$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.14

$5 x$ と $15 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.15

$20$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.15.1

$2$ を $20 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.15.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.15.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.15.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.15.2.4

$10 x$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.16

積の法則を $\frac{x - 10}{2}$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.17

$10$ を $10 x - 40$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.17.1

$10$ を $10 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.17.2

$10$ を $- 40$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.17.3

$10$ を $10 x + 10 \cdot - 4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

ステップ 2.2.11.1.18

$\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ と $10$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.19

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.20

$10$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.20.1

$2$ を ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.20.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1.20.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.20.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.20.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.1.21

$5$ を ${(x - 10)}^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

ステップ 2.2.11.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

ステップ 2.2.11.3

$\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ を $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

ステップ 2.2.11.4

$\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.4.1

$\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ に $\frac{x - 4}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.11.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ です。

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 3.3.2

${(x - 10)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(x - 10)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 10)}^{2} = 0$

ステップ 3.3.2.2

$x$ について ${(x - 10)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 3.3.2.2.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 3.3.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.3.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.3.4

最終解は $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, 4$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$10$ を $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$10$ を $2$ で割ります。

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

ステップ 4.1.2.2

$5$ から $5$ を引きます。

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (10) = 10 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.4

$10$ に $0$ をかけます。

$f (10) = 0$

ステップ 4.1.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で代入して $10$ 求めた点は、 $(10, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(10, 0)$

ステップ 4.3

$4$ を $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$4$ を $2$ で割ります。

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ から $5$ を引きます。

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.3

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (4) = 4 \cdot 81$

ステップ 4.3.2.4

$4$ に $81$ をかけます。

$f (4) = 324$

ステップ 4.3.2.5

最終的な答えは $324$ です。

$324$

ステップ 4.4

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ で代入して $4$ 求めた点は、 $(4, 324)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4, 324)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(10, 0), (4, 324)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 4)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3.9$ で置換えます。

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3.9$ から $10$ を引きます。

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

ステップ 6.2.1.2

$3.9$ から $4$ を引きます。

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

ステップ 6.2.1.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

$- 0.1$ に $5$ をかけます。

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

ステップ 6.2.1.3.2

$- 0.5$ に ${(- 6.1)}^{2}$ をかけます。

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

ステップ 6.2.2

$- 18.605$ を $4$ で割ります。

$f'' (3.9) = - 4.65125$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 4.65125$ です。

$- 4.65125$

ステップ 6.3

$3.9$ で二次導関数は $- 4.65125$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 4)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 4)$ で減少

ステップ 7

区間 $(4, 10)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$7$ から $10$ を引きます。

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

ステップ 7.2.1.2

$7$ から $4$ を引きます。

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

ステップ 7.2.1.3

$3$ に $5$ をかけます。

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

ステップ 7.2.1.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

ステップ 7.2.2

$15$ に $9$ をかけます。

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{135}{4}$ です。

$\frac{135}{4}$

ステップ 7.3

$7$ で二次導関数は $33.75$ です。これは正の値なので、 $(4, 10)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(4, 10)$ で増加

ステップ 8

区間 $(10, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $10.1$ で置換えます。

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$10.1$ から $10$ を引きます。

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

ステップ 8.2.1.2

$10.1$ から $4$ を引きます。

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

ステップ 8.2.1.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.3.1

$6.1$ に $5$ をかけます。

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

ステップ 8.2.1.3.2

$30.5$ に ${0.1}^{2}$ をかけます。

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

ステップ 8.2.2

$0.305$ を $4$ で割ります。

$f'' (10.1) = 0.07625$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.07625$ です。

$0.07625$

ステップ 8.3

$10.1$ で二次導関数は $0.07625$ です。これは正の値なので、 $(10, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(10, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(4, 324)$ です。

$(4, 324)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例