微分積分例

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$a^{2} \cos (2 θ)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 1.1.2

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

ステップ 1.1.2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

ステップ 1.1.2.2.2

$- 1$ を $a^{2}$ の左に移動させます。

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

ステップ 1.1.3

$- 1 a^{2}$ を $- a^{2}$ に書き換えます。

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

ステップ 2

$\cos (θ) = \frac{x}{r}$ なので、 $\cos (θ)$ を $\frac{x}{r}$ で置き換えます。

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

ステップ 3

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$ なので、 $r^{2}$ を $x^{2} + y^{2}$ で、 $r$ を $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ で置き換えます。

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

ステップ 4

標準形で書きます。

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ステップ 4.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ を引きます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺に $a^{2}$ を足します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ をかけます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ をかけます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.2

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.6

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ を $x^{2} + y^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2.6.5

簡約します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

積の法則を $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.3.2

積の法則を $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ を $x^{2} + y^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4.5

簡約します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.5

$x^{2} + y^{2}$ と ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

$x^{2} + y^{2}$ を $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ で因数分解します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.2.1

$x^{2} + y^{2}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.6

$- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.1

$- 2$ と $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ をまとめます。

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.6.2

$a^{2}$ と $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ をまとめます。

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.7

不要な括弧を削除します。

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.8

$- 2$ を $a^{2}$ の左に移動させます。

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ を掛けます。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.4

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$x^{2}$ を $- 2 a^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.4.2

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ で因数分解します。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.5

$y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.4.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.5

$y^{2} x^{2}$ と $x^{2} y^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.5.1

$y^{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.7.5.2

$x^{2} y^{2}$ と $x^{2} y^{2}$ をたし算します。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

ステップ 4.2.8

$a^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

ステップ 4.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

ステップ 4.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

ステップ 4.2.10.2

$- 2 x^{2} a^{2}$ と $a^{2} x^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

ステップ 4.2.10.2.2

$- 2 a^{2} x^{2}$ と $a^{2} x^{2}$ をたし算します。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

ステップ 5

微分積分 例

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