微分積分例

$e^{4 x}$

ステップ 1

$e^{4 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{4 x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.1.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x} (4 \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$e^{4 x} \cdot 4$

ステップ 2.1.2.3.2

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 4 e^{4 x}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 e^{4 x}$ です。

$4 e^{4 x}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 e^{4 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 e^{4 x} = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (0)$

ステップ 3.3

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4

$4 e^{4 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = 4 e^{4 x}$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = e^{4 x}$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = 4 e^{4 x}$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 4 e^{4 (1)}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 4 e^{4}$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $4 e^{4}$ です。

$4 e^{4}$

ステップ 7

$1$ を $f' (x) = 4 e^{4 x}$ に代入した結果は $4 e^{4}$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$4 e^{4 x} > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 8

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

常に増加

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例