微分積分例

$- \cos^{2} (x)$

ステップ 1

$- \cos^{2} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.1.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.1.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.1.6

簡約します。

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ステップ 2.1.6.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

ステップ 2.1.6.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

ステップ 2.1.6.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \sin (2 x)$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\sin (2 x)$ です。

$\sin (2 x)$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\sin (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\sin (2 x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (0)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x = 0$

ステップ 3.4

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - 0$

ステップ 3.6

$x$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 x = π + 0$

ステップ 3.6.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 x = π$

ステップ 3.6.2

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 3.6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.7

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 3.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.8

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{π n}{2}$ です。

$\frac{π n}{2}$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \sin (2 x)$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = - \cos^{2} (x)$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ です。

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{π n}{2} - 1$ で置換えます。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

ステップ 6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

ステップ 6.2.2.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

ステップ 6.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\sin (π n - 2)$ です。

$\sin (π n - 2)$

ステップ 6.3

$x = \frac{π n}{2} - 1$ で微分係数は $\sin (π n - 2)$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, \frac{π n}{2})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{π n}{2})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{π n}{2} + 1$ で置換えます。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

ステップ 7.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

ステップ 7.2.2.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

ステップ 7.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\sin (π n + 2)$ です。

$\sin (π n + 2)$

ステップ 7.3

$x = \frac{π n}{2} + 1$ で微分係数は $\sin (π n + 2)$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{π n}{2}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{π n}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{π n}{2}, \infty)$ で増加

$(- \infty, \frac{π n}{2})$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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