微分積分例

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

ステップ 1

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{5}{3}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.2

$n = \frac{5}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.6.2

$5$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.7

$\frac{5}{3}$ と $x^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.8

$2$ と $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.9

$5$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

ステップ 2.1.3.2

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

ステップ 2.1.3.6.2

$4$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.1.3.7

$\frac{4}{3}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 2.1.3.8

$- 5$ と $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 2.1.3.9

$4$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 2.1.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ です。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

ステップ 3.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = 0, 8$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 8$ です。

$0, 8$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2.3.2

式を書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2.5

$10$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2.6

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 6.2.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

ステップ 6.2.2.8

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.8.1

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

ステップ 6.2.2.8.2

式を書き換えます。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

ステップ 6.2.2.9

指数を求めます。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

ステップ 6.2.2.10

$- 20$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$10$ と $20$ をたし算します。

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

ステップ 6.2.3.2

$30$ を $3$ で割ります。

$f' (- 1) = 10$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $10$ です。

$10$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $10$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, 8)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.2

括弧を削除します。

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ です。

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 7.3

$x = 4$ で微分係数は $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 8)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 8)$ で減少

ステップ 8

区間 $(8, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 8.2.2

括弧を削除します。

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ です。

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 8.3

$x = 9$ で微分係数は $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(8, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(8, \infty)$ で減少

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 0)$ で増加

$(0, 8), (8, \infty)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例