微分積分例

$- 12 x^{5} + 120 x^{4} - 300 x^{3}$

ステップ 1

$- 12 x^{5} + 120 x^{4} - 300 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = - 12 x^{5} + 120 x^{4} - 300 x^{3}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $- 12 x^{5} + 120 x^{4} - 300 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{5}) + \frac{d}{d x} (120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3})$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{5}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3})$

ステップ 2.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3})$

ステップ 2.1.2.3

$5$ に $- 12$ をかけます。

$f' (x) = - 60 x^{4} + \frac{d}{d x} (120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3})$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $120 x^{4}$ の微分係数は $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = - 60 x^{4} + 120 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3})$

ステップ 2.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 60 x^{4} + 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3})$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $120$ をかけます。

$f' (x) = - 60 x^{4} + 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3})$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 300 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$- 300$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 300 x^{3}$ の微分係数は $- 300 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - 60 x^{4} + 480 x^{3} - 300 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 2.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 60 x^{4} + 480 x^{3} - 300 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.4.3

$3$ に $- 300$ をかけます。

$f' (x) = - 60 x^{4} + 480 x^{3} - 900 x^{2}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 60 x^{4} + 480 x^{3} - 900 x^{2}$ です。

$- 60 x^{4} + 480 x^{3} - 900 x^{2}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 60 x^{4} + 480 x^{3} - 900 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 60 x^{4} + 480 x^{3} - 900 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 60 x^{2}$ を $- 60 x^{4} + 480 x^{3} - 900 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 60 x^{2}$ を $- 60 x^{4}$ で因数分解します。

$- 60 x^{2} x^{2} + 480 x^{3} - 900 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$- 60 x^{2}$ を $480 x^{3}$ で因数分解します。

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 8 x) - 900 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.1.3

$- 60 x^{2}$ を $- 900 x^{2}$ で因数分解します。

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 8 x) - 60 x^{2} \cdot 15 = 0$

ステップ 3.2.1.4

$- 60 x^{2}$ を $- 60 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{2} (- 8 x)$ で因数分解します。

$- 60 x^{2} (x^{2} - 8 x) - 60 x^{2} \cdot 15 = 0$

ステップ 3.2.1.5

$- 60 x^{2}$ を $- 60 x^{2} (x^{2} - 8 x) - 60 x^{2} (15)$ で因数分解します。

$- 60 x^{2} (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

ステップ 3.2.2

因数分解。

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ステップ 3.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x + 15$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $15$ で、その和が $- 8$ です。

$- 5, - 3$

ステップ 3.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 60 x^{2} ((x - 5) (x - 3)) = 0$

ステップ 3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 60 x^{2} (x - 5) (x - 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.7

最終解は $- 60 x^{2} (x - 5) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5, 3$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, 5, 3$ です。

$0, 5, 3$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - 60 {(- 1)}^{4} + 480 {(- 1)}^{3} - 900 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f' (- 1) = - 60 \cdot 1 + 480 {(- 1)}^{3} - 900 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 60$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 60 + 480 {(- 1)}^{3} - 900 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = - 60 + 480 \cdot - 1 - 900 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$480$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 60 - 480 - 900 {(- 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - 60 - 480 - 900 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.6

$- 900$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 60 - 480 - 900$

ステップ 6.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 60$ から $480$ を引きます。

$f' (- 1) = - 540 - 900$

ステップ 6.2.2.2

$- 540$ から $900$ を引きます。

$f' (- 1) = - 1440$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1440$ です。

$- 1440$

ステップ 6.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 1440$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 {(\frac{3}{2})}^{4} + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $4$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{81}{2^{4}} + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 (\frac{81}{16}) + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.4.1

$4$ を $- 60$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (- 15) (\frac{81}{16}) + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 15 (\frac{81}{4}) + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

$- 15$ と $\frac{81}{4}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 15 \cdot 81}{4} + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.6

$- 15$ に $81$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{4} + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 480 {(\frac{3}{2})}^{3} - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.8

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 480 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.9

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 480 (\frac{27}{2^{3}}) - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.10

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 480 (\frac{27}{8}) - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.11.1

$8$ を $480$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 8 (60) (\frac{27}{8}) - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 8 \cdot (60 (\frac{27}{8})) - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.11.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 60 \cdot 27 - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.12

$60$ に $27$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 - 900 {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 7.2.1.13

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 - 900 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.14

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 - 900 \frac{9}{2^{2}}$

ステップ 7.2.1.15

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 - 900 (\frac{9}{4})$

ステップ 7.2.1.16

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.16.1

$4$ を $- 900$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 + 4 (- 225) (\frac{9}{4})$

ステップ 7.2.1.16.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 + 4 \cdot (- 225 (\frac{9}{4}))$

ステップ 7.2.1.16.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 - 225 \cdot 9$

ステップ 7.2.1.17

$- 225$ に $9$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 1620 - 2025$

ステップ 7.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 7.2.2.1

$1620$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{1620}{1} - 2025$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{1620}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{1620}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2025$

ステップ 7.2.2.3

$\frac{1620}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{1620 \cdot 4}{4} - 2025$

ステップ 7.2.2.4

$- 2025$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{1620 \cdot 4}{4} + \frac{- 2025}{1}$

ステップ 7.2.2.5

$\frac{- 2025}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{1620 \cdot 4}{4} + \frac{- 2025}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.2.6

$\frac{- 2025}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{1620 \cdot 4}{4} + \frac{- 2025 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 1620 \cdot 4 - 2025 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$1620$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 6480 - 2025 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.4.2

$- 2025$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 6480 - 8100}{4}$

ステップ 7.2.5

式を簡約します。

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ステップ 7.2.5.1

$- 1215$ と $6480$ をたし算します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{5265 - 8100}{4}$

ステップ 7.2.5.2

$5265$ から $8100$ を引きます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 2835}{4}$

ステップ 7.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{2835}{4}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $- \frac{2835}{4}$ です。

$- \frac{2835}{4}$

ステップ 7.3

$x = \frac{3}{2}$ で微分係数は $- \frac{2835}{4}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 3)$ で減少

ステップ 8

区間 $(3, 5)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = - 60 {(4)}^{4} + 480 {(4)}^{3} - 900 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = - 60 \cdot 256 + 480 {(4)}^{3} - 900 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$- 60$ に $256$ をかけます。

$f' (4) = - 15360 + 480 {(4)}^{3} - 900 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f' (4) = - 15360 + 480 \cdot 64 - 900 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.4

$480$ に $64$ をかけます。

$f' (4) = - 15360 + 30720 - 900 {(4)}^{2}$

ステップ 8.2.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = - 15360 + 30720 - 900 \cdot 16$

ステップ 8.2.1.6

$- 900$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = - 15360 + 30720 - 14400$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$- 15360$ と $30720$ をたし算します。

$f' (4) = 15360 - 14400$

ステップ 8.2.2.2

$15360$ から $14400$ を引きます。

$f' (4) = 960$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $960$ です。

$960$

ステップ 8.3

$x = 4$ で微分係数は $960$ です。これは正の値なので、関数は $(3, 5)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, 5)$ で増加

ステップ 9

区間 $(5, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - 60 {(6)}^{4} + 480 {(6)}^{3} - 900 {(6)}^{2}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$6$ を $4$ 乗します。

$f' (6) = - 60 \cdot 1296 + 480 {(6)}^{3} - 900 {(6)}^{2}$

ステップ 9.2.1.2

$- 60$ に $1296$ をかけます。

$f' (6) = - 77760 + 480 {(6)}^{3} - 900 {(6)}^{2}$

ステップ 9.2.1.3

$6$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = - 77760 + 480 \cdot 216 - 900 {(6)}^{2}$

ステップ 9.2.1.4

$480$ に $216$ をかけます。

$f' (6) = - 77760 + 103680 - 900 {(6)}^{2}$

ステップ 9.2.1.5

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = - 77760 + 103680 - 900 \cdot 36$

ステップ 9.2.1.6

$- 900$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = - 77760 + 103680 - 32400$

ステップ 9.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$- 77760$ と $103680$ をたし算します。

$f' (6) = 25920 - 32400$

ステップ 9.2.2.2

$25920$ から $32400$ を引きます。

$f' (6) = - 6480$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $- 6480$ です。

$- 6480$

ステップ 9.3

$x = 6$ で微分係数は $- 6480$ です。これは負の値なので、関数は $(5, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(5, \infty)$ で減少

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(3, 5)$ で増加

$(- \infty, 0), (0, 3), (5, \infty)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例