微分積分例

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

ステップ 1

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

総和則では、 $3 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.5.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.2.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2.2

$3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.2.2.1

$e^{2 x}$ から $e^{2 x}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.6.2.2.2

$3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ です。

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$3 e^{x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3 e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.3.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.3.3

$3 e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点はありません。 $f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ の増加・減少を確認する区間は $(- \infty, \infty)$ です。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \infty)$ から $1$ などの任意の数を微分係数 $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ に代入し、結果が負か正か確認します。結果が負ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で減少します。結果が正ならば、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{3 e^{1}}{{(3 + e^{1})}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

簡約します。

$f' (1) = \frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ です。

$\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

ステップ 7

$1$ を $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ に代入した結果は $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ です。これは正なので、グラフは区間 $(- \infty, \infty)$ で増加します。

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} > 0$ なので $(- \infty, \infty)$ で増加

ステップ 8

区間 $(- \infty, \infty)$ で増加することは、関数が常に増加しているという意味です。

常に増加

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例