微分積分例

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x - 7)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{({(x - 7)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

${({(x - 7)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.3

$2$ を ${(x - 7)}^{2}$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 7)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 7$ とします。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 7$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.4.2

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.4.4

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + 0))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \cdot 1)}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.4.5.2

$x - 7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.1

${(x - 7)}^{2}$ を $(x - 7) (x - 7)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{2 ((x - 7) (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 7) (x - 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.3.1.2

$- 7$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.3.1.3

$- 7$ に $- 7$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.3.2

$- 7 x$ から $7 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.5.1

$- 14$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.5.2

$2$ に $49$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 98) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.6

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.7.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.7.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.7.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 (x \cdot x) + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.7.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.8.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.1.9

$- 7$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.2

$2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 0 + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.2.2

$- 28 x^{2} + 98 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.2.3

$- 28 x^{2}$ と $14 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 14 x^{2} + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.3

$14 x$ を $- 14 x^{2} + 98 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.3.1

$14 x$ を $- 14 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.3.2

$14 x$ を $98 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 14 x (7)}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.3.3

$14 x$ を $14 x (- x) + 14 x (7)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{14 x (- x + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.4

$- x + 7$ と ${(x - 7)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.4.2

$7$ を $- 1 (- 7)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) - 1 \cdot - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.4.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 7)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{14 x (- (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.4.4

$- (x - 7)$ を $- 1 (x - 7)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{14 x (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.4.5

$x - 7$ を $14 x (- 1 (x - 7))$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{4}}$

ステップ 2.1.5.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.6.1

$x - 7$ を ${(x - 7)}^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

ステップ 2.1.5.4.6.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

ステップ 2.1.5.4.6.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{14 x \cdot (- 1)}{{(x - 7)}^{3}}$

ステップ 2.1.5.5

$- 1$ に $14$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

ステップ 2.1.5.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ です。

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$14 x = 0$

ステップ 3.3

$14 x = 0$ の各項を $14$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$14 x = 0$ の各項を $14$ で割ります。

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{14}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0$ を $14$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 7)}^{3} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 7

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - \frac{14 (- 1)}{{((- 1) - 7)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$14$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 1 - 7)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 1$ から $7$ を引きます。

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 8)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 8$ を $3$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{- 512}$

ステップ 7.2.3

$- 14$ と $- 512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$- 2$ を $- 14$ で因数分解します。

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 512}$

ステップ 7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$- 2$ を $- 512$ で因数分解します。

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 1) = - \frac{7}{256}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{7}{256}$ です。

$- \frac{7}{256}$

ステップ 7.3

$x = - 1$ で微分係数は $- \frac{7}{256}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, 7)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $\frac{7}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{14 (\frac{7}{2})}{{((\frac{7}{2}) - 7)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$14$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$- 7$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.4.1

$- 7$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 14}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.4.2

$7$ から $14$ を引きます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{- 7}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- \frac{7}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.6

積の法則を $- \frac{7}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.7

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- {(\frac{7}{2})}^{3}}$

ステップ 8.2.2.8

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{7^{3}}{2^{3}}}$

ステップ 8.2.2.9

$7$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{2^{3}}}$

ステップ 8.2.2.10

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{8}}$

ステップ 8.2.3

式を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$14$ に $7$ をかけます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{98}{2}}{- \frac{343}{8}}$

ステップ 8.2.3.2

$98$ を $2$ で割ります。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{- \frac{343}{8}}$

ステップ 8.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (- \frac{8}{343}))$

ステップ 8.2.5

$49$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.5.1

$- \frac{8}{343}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{343}))$

ステップ 8.2.5.2

$49$ を $343$ で因数分解します。

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 (7)}))$

ステップ 8.2.5.3

共通因数を約分します。

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 \cdot 7}))$

ステップ 8.2.5.4

式を書き換えます。

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 8}{7}$

ステップ 8.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{8}{7}$

ステップ 8.2.7

最終的な答えは $\frac{8}{7}$ です。

$\frac{8}{7}$

ステップ 8.3

$x = \frac{7}{2}$ で微分係数は $\frac{8}{7}$ です。これは正の値なので、関数は $(0, 7)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, 7)$ で増加

ステップ 9

区間 $(7, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f' (8) = - \frac{14 (8)}{{((8) - 7)}^{3}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$14$ に $8$ をかけます。

$f' (8) = - \frac{112}{{(8 - 7)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$8$ から $7$ を引きます。

$f' (8) = - \frac{112}{1^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (8) = - \frac{112}{1}$

ステップ 9.2.3

式を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$112$ を $1$ で割ります。

$f' (8) = - 1 \cdot 112$

ステップ 9.2.3.2

$- 1$ に $112$ をかけます。

$f' (8) = - 112$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $- 112$ です。

$- 112$

ステップ 9.3

$x = 8$ で微分係数は $- 112$ です。これは負の値なので、関数は $(7, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(7, \infty)$ で減少

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, 7)$ で増加

$(- \infty, 0), (7, \infty)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例