微分積分例

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$

ステップ 1

式 $\frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$ が未定義である場所を求めます。

$x = \ln (\frac{4}{3})$

ステップ 2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} - 4}$

ステップ 2.2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} - 4}$

ステップ 2.2.1.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} - 4}$

ステップ 2.2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.2.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{x} - lim_{x \to \infty} 4}$

ステップ 2.2.1.3.2

関数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $3$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 2.2.1.3.2.1

定数の倍数 $3$ を削除した極限を考えます。

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 4}$

ステップ 2.2.1.3.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 4}$

ステップ 2.2.1.3.3

極限を求めます。

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ステップ 2.2.1.3.3.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 4}$

ステップ 2.2.1.3.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.1.3.3.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$2 \frac{\infty}{\infty - 4}$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.3.3.2.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.3.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.3.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$2 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} - 4} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 4]}$

ステップ 2.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 4]}$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 4]}$

ステップ 2.2.3.3

総和則では、 $3 e^{x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 2.2.3.4

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 2.2.3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 2.2.3.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} + 0}$

ステップ 2.2.3.6

$3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x}}$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x}}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

ステップ 2.3

極限を求めます。

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ステップ 2.3.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{3}$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{3})$

ステップ 2.3.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{3 e^{x} - 4}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{3 e^{x} - 4}$

ステップ 3.1.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 3 e^{x} - 4}$

ステップ 3.2

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 3 e^{x} - 4}$

ステップ 3.3

極限を求めます。

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ステップ 3.3.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 3 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 4}$

ステップ 3.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{3 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 4}$

ステップ 3.4

指数 $x$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $0$ に近づきます。

$2 \frac{0}{3 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 4}$

ステップ 3.5

極限を求めます。

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ステップ 3.5.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{3 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$0$ と $3 \cdot 0 - 1 \cdot 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

$- 1$ を $3 \cdot 0$ で因数分解します。

$2 \frac{0}{- (- 3 \cdot 0) - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.1.2

$- 1$ を $- 1 \cdot 4$ で因数分解します。

$2 \frac{0}{- (- 3 \cdot 0) - 1 (4)}$

ステップ 3.5.2.1.3

$- 1$ を $- (- 3 \cdot 0) - 1 (4)$ で因数分解します。

$2 \frac{0}{- (- 3 \cdot 0 + 4)}$

ステップ 3.5.2.1.4

$- (- 3 \cdot 0 + 4)$ を $- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)$ に書き換えます。

$2 \frac{0}{- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)}$

ステップ 3.5.2.1.5

$4$ を $0$ で因数分解します。

$2 \frac{4 (0)}{- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)}$

ステップ 3.5.2.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.6.1

$4$ を $- 1 (- 3 \cdot 0 + 4)$ で因数分解します。

$2 \frac{4 (0)}{4 (- 1 (- 3 \cdot 0 + 1))}$

ステップ 3.5.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 (- 1 (- 3 \cdot 0 + 1))}$

ステップ 3.5.2.1.6.3

式を書き換えます。

$2 \frac{0}{- 1 (- 3 \cdot 0 + 1)}$

ステップ 3.5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$- 3$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

ステップ 3.5.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{0}{- 1})$

ステップ 3.5.2.4

$0$ を $- 1$ で割ります。

$2 \cdot 0$

ステップ 3.5.2.5

$2$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = \frac{2}{3}, 0$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = \ln (\frac{4}{3})$

水平漸近線： $y = \frac{2}{3}, 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例