微分積分例

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

ステップ 1

総和則では、 $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

ステップ 2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ です。

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 4 x^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} - 3$ とします。

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} - 3$ で置き換えます。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

ステップ 3.3

総和則では、 $4 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 3.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

ステップ 3.7

$2$ に $4$ をかけます。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

ステップ 3.8

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

ステップ 3.9

$8$ に $2$ をかけます。

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

ステップ 3.10

$16$ に $- 12$ をかけます。

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$4$ に $- 192$ をかけます。

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

ステップ 4.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

ステップ 4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

ステップ 4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

ステップ 4.3.5

$- 192$ に $- 3$ をかけます。

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

ステップ 5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

ステップ 6.1.2

$- 768$ に $1$ をかけます。

$- 768 + 576 (1) + 6$

ステップ 6.1.3

$576$ に $1$ をかけます。

$- 768 + 576 + 6$

ステップ 6.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 768$ と $576$ をたし算します。

$- 192 + 6$

ステップ 6.2.2

$- 192$ と $6$ をたし算します。

$- 186$

微分積分 例

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