微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{e}$ を足します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

ステップ 1.2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, e + y = 0$

ステップ 1.2.2.2

$x, e$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{1}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 1.2.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

$1$ 各数値の素因数を記入してください。

ステップ 1.2.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.2.2.5

$1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1 + y = 0$

ステップ 1.2.2.6

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x = x$

ステップ 1.2.2.7

$x^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x + y = 0$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.3.1

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

ステップ 1.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{1}{e} x$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$\frac{1}{e}$ と $x$ をまとめます。

$1 = \frac{x}{e}$

ステップ 1.2.4

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

方程式を $\frac{x}{e} = 1$ として書き換えます。

$\frac{x}{e} = 1$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $e$ を掛けます。

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.1

$e$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x = e \cdot 1$

ステップ 1.2.4.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.2.1

$e$ に $1$ をかけます。

$x = e$

ステップ 1.3

$e$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(e, 0)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

ステップ 3

積分し、 $1$ と $e$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ から $0$ を引きます。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

ステップ 3.5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

ステップ 3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\ln (| x |)]_{1}^{e}$ と $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ をまとめます。

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

ステップ 3.6.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$e$ および $1$ で $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ の値を求めます。

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

ステップ 3.6.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

$e$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

ステップ 3.6.2.2.2

$e$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

ステップ 3.6.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

ステップ 3.6.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

ステップ 3.6.2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

ステップ 3.7.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

ステップ 3.7.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.7.1.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

ステップ 3.7.1.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

ステップ 3.7.1.4

$0$ から $\frac{1}{e}$ を引きます。

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

ステップ 3.7.1.5

$- - \frac{1}{e}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

ステップ 3.7.1.5.2

$\frac{1}{e}$ に $1$ をかけます。

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

ステップ 3.7.2

$1$ から $1$ を引きます。

$0 + \frac{1}{e}$

ステップ 3.7.3

$0$ と $\frac{1}{e}$ をたし算します。

$\frac{1}{e}$

ステップ 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

ステップ 5

積分し、 $e$ と $e^{3}$ の間の面積を求めます。

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ステップ 5.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

ステップ 5.2

$0$ から $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ を引きます。

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

ステップ 5.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

ステップ 5.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

ステップ 5.6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

ステップ 5.7

定数の法則を当てはめます。

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

ステップ 5.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.1

$e^{3}$ および $e$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

ステップ 5.8.1.2

$e^{3}$ および $e$ で $\frac{1}{e} x$ の値を求めます。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

ステップ 5.8.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.3.1

$\frac{1}{e}$ と $e^{3}$ をまとめます。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

ステップ 5.8.1.3.2

$e^{3}$ と $e$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.3.2.1

$e$ を $e^{3}$ で因数分解します。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

ステップ 5.8.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.3.2.2.1

$1$ を掛けます。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

ステップ 5.8.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

ステップ 5.8.1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

ステップ 5.8.1.3.2.2.4

$e^{2}$ を $1$ で割ります。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

ステップ 5.8.1.3.3

$e$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

ステップ 5.8.1.3.4

$e$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

ステップ 5.8.1.3.4.2

式を書き換えます。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 5.8.1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.1

$e^{3}$ は約 $20.08553692$ 。正の数なので絶対値を削除します

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.2

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.3

$e^{3}$ と $e$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.3.1

$e$ を $e^{3}$ で因数分解します。

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.3.2.1

$1$ を掛けます。

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.3.2.4

$e^{2}$ を $1$ で割ります。

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.4

対数の法則を利用して指数の外に $2$ を移動します。

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 + e^{2} - 1$

ステップ 5.8.3.8

$- 2$ から $1$ を引きます。

$e^{2} - 3$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例