微分積分例

$\sum_{1}^{3} \frac{1}{2} j (2 j^{2} + 3 j + 5)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot (j (2 j^{2}) + j (3 j) + j \cdot 5)$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + j (3 j) + j \cdot 5)$

ステップ 1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + j \cdot 5)$

ステップ 1.2.3

$5$ を $j$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

ステップ 1.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

指数を足して $j$ に $j^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1

$j^{2}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

ステップ 1.3.1.2

$j^{2}$ に $j$ をかけます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$j$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j^{1}) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

ステップ 1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{2 + 1} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

ステップ 1.3.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

ステップ 1.3.2

指数を足して $j$ に $j$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

$j$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 (j \cdot j) + 5 \cdot j)$

ステップ 1.3.2.2

$j$ に $j$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 \cdot j)$

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 j)$

ステップ 1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $2 j^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (j^{3})) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

ステップ 1.5.1.3

式を書き換えます。

$j^{3} + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{2} (3 j^{2})$ を掛けます。

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ステップ 1.5.2.1

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$j^{3} + \frac{3}{2} j^{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

ステップ 1.5.2.2

$\frac{3}{2}$ と $j^{2}$ をまとめます。

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

ステップ 1.5.3

$\frac{1}{2} (5 j)$ を掛けます。

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ステップ 1.5.3.1

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5}{2} j$

ステップ 1.5.3.2

$\frac{5}{2}$ と $j$ をまとめます。

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

ステップ 1.6

総和を書き換えます。

$\sum_{j = 1}^{3} j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

ステップ 2

次数 $3$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(\frac{1}{2} + 5) (\frac{3^{2} {(3 + 1)}^{2}}{4})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{3^{2} \cdot 4^{2}}{4}$

ステップ 4.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 4^{2}}{4}$

ステップ 4.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 16}{4}$

ステップ 4.2

$9$ に $16$ をかけます。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{144}{4}$

ステップ 4.3

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$(\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) \frac{144}{4}$

ステップ 4.4

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$(\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) \frac{144}{4}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + 5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{144}{4}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 + 10}{2} \cdot \frac{144}{4}$

ステップ 4.6.2

$1$ と $10$ をたし算します。

$\frac{11}{2} \cdot \frac{144}{4}$

ステップ 4.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.1

$2$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 (72)}{4}$

ステップ 4.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{4}$

ステップ 4.7.3

式を書き換えます。

$11 (\frac{72}{4})$

ステップ 4.8

$11$ と $\frac{72}{4}$ をまとめます。

$\frac{11 \cdot 72}{4}$

ステップ 4.9

式を簡約します。

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ステップ 4.9.1

$11$ に $72$ をかけます。

$\frac{792}{4}$

ステップ 4.9.2

$792$ を $4$ で割ります。

$198$

微分積分 例

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