微分積分例

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$4 e^{x} - 3 = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $4 e^{x} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 e^{x} = 3$

ステップ 1.2.2

$4 e^{x} = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$4 e^{x} = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{3}{4}$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 1.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 1.3

$\ln (\frac{3}{4})$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

ステップ 3

積分し、 $- 4$ と $\ln (\frac{3}{4})$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

ステップ 3.2

$0$ から $4 e^{x} - 3$ を引きます。

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

ステップ 3.4

掛け算します。

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ステップ 3.4.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 e^{x} - - 3$

ステップ 3.4.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

ステップ 3.5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

ステップ 3.6

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

ステップ 3.7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

ステップ 3.8

定数の法則を当てはめます。

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

ステップ 3.9

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$\ln (\frac{3}{4})$ および $- 4$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

ステップ 3.9.2

$\ln (\frac{3}{4})$ および $- 4$ で $3 x$ の値を求めます。

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

ステップ 3.9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

ステップ 3.9.3.2

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.1.2

分配則を当てはめます。

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.1.3.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.1.3.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.1.5

$- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1.5.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.1.5.2

$4$ と $\frac{1}{e^{4}}$ をまとめます。

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

ステップ 3.10.2

$- 3$ と $12$ をたし算します。

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

ステップ 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

ステップ 5

積分し、 $\ln (\frac{3}{4})$ と $3$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

積分し、 $\ln (\frac{3}{4})$ と $3$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

ステップ 5.1.2

$0$ から $4 e^{x} - 3$ を引きます。

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

ステップ 5.1.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 e^{x} - - 3$

ステップ 5.1.4.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

ステップ 5.1.5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

ステップ 5.1.6

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

ステップ 5.1.7

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

ステップ 5.1.8

定数の法則を当てはめます。

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

ステップ 5.1.9

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.9.1

$3$ および $\ln (\frac{3}{4})$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

ステップ 5.1.9.2

$3$ および $\ln (\frac{3}{4})$ で $3 x$ の値を求めます。

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.9.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.9.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.1.1

分配則を当てはめます。

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.10.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.1.2.1

$- \frac{3}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.10.1.2.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.10.1.2.3

共通因数を約分します。

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.10.1.2.4

式を書き換えます。

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.10.1.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.1.10.2

$3$ と $9$ をたし算します。

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.2

積分を1つにまとめます。

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

ステップ 5.3

$4 e^{x} - 3$ から $0$ を引きます。

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

ステップ 5.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

ステップ 5.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

ステップ 5.6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

ステップ 5.7

定数の法則を当てはめます。

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

ステップ 5.8

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$3$ および $\ln (\frac{3}{4})$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

ステップ 5.8.2

$3$ および $\ln (\frac{3}{4})$ で $- 3 x$ の値を求めます。

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.8.3.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1.1

分配則を当てはめます。

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.9.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1.2.1

$- \frac{3}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.9.1.2.2

共通因数を約分します。

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.9.1.2.3

式を書き換えます。

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 5.9.2

$- 3$ から $9$ を引きます。

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 6

面積 $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ をたし算します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (\frac{3}{4})$ を簡約します。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 6.1.2

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 6.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 6.1.4

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

ステップ 6.1.5

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (\frac{3}{4})$ を簡約します。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

ステップ 6.1.6

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

ステップ 6.1.7

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

ステップ 6.1.8

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

ステップ 6.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

ステップ 6.3

$\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{27}{64}$ に $\frac{27}{64}$ をかけます。

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

ステップ 6.3.2

$27$ に $27$ をかけます。

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

ステップ 6.3.3

$64$ に $64$ をかけます。

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

ステップ 6.4

$9$ から $12$ を引きます。

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例