微分積分例

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

分子を0に等しくします。

$6 = 0$

ステップ 1.2.2

$6 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

ステップ 3

積分し、 $4$ と $8$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

ステップ 3.2

$\frac{6}{8 x - 1}$ から $0$ を引きます。

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

ステップ 3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

ステップ 3.4

$u = 8 x - 1$ とします。次に $d u = 8 d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.4.1

$u = 8 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.4.1.1

$8 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

ステップ 3.4.1.2

総和則では、 $8 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4.1.3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$8 + 0$

ステップ 3.4.1.4.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$8$

ステップ 3.4.2

$u = 8 x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

ステップ 3.4.3

簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$8$ に $4$ をかけます。

$u_{lower} = 32 - 1$

ステップ 3.4.3.2

$32$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 31$

ステップ 3.4.4

$u = 8 x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

ステップ 3.4.5

簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

$8$ に $8$ をかけます。

$u_{upper} = 64 - 1$

ステップ 3.4.5.2

$64$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 63$

ステップ 3.4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

ステップ 3.4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

ステップ 3.5.2

$8$ を $u$ の左に移動させます。

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

ステップ 3.6

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

$\frac{1}{8}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.7.2

$6$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

ステップ 3.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

ステップ 3.9

$63$ および $31$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

ステップ 3.10.2

$\frac{3}{4}$ と $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ をまとめます。

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $63$ の間の距離は $63$ です。

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

ステップ 3.11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $31$ の間の距離は $31$ です。

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

ステップ 4

面積 $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ をたし算します。

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ステップ 4.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (\frac{63}{31})$ を簡約します。

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

積の法則を $\frac{63}{31}$ に当てはめます。

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

ステップ 4.2.2

$63$ を $3$ 乗します。

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

ステップ 4.2.3

$31$ を $3$ 乗します。

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

ステップ 4.3

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

ステップ 4.4

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ を簡約します。

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

ステップ 4.5

積の法則を $\frac{250047}{29791}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例