微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{2} x^{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.5

$\frac{6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.6

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.3.6.2.4

$3 x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.4.3

$8$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$x^{2} + 3 x + 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} + 3 x + 8$ です。

$x^{2} + 3 x + 8$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} + 3 x + 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} + 3 x + 8 = 0$

ステップ 2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ を $i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.6.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.6.5

$- 1$ を $- i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.6.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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