微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x + 5)}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

ステップ 1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 1.3.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 1.3.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

ステップ 1.3.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 5$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 5$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $3 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.9

$\frac{1}{3 x + 5}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

ステップ 3.10

総和則では、 $\ln (7 x + 3) + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11

$\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 7 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 3$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.1.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.2

総和則では、 $7 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.6

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.7

$7$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.11.8

$\frac{1}{7 x + 3}$ と $7$ をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 3.12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + 0}$

ステップ 3.13

$\frac{7}{7 x + 3}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{3 x + 5} \cdot \frac{7 x + 3}{7}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{3}{3 x + 5}$ に $\frac{7 x + 3}{7}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (7 x + 3)}{(3 x + 5) \cdot 7}$

ステップ 5.2

$\frac{3}{7}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 3}{3 x + 5}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

ステップ 7.1.2

$7$ を $1$ で割ります。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

ステップ 7.2.2

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{3 + \frac{5}{x}}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

ステップ 7.6

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 9.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 9.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 \cdot 0}$

ステップ 11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 0}{3 + 5 \cdot 0}$

ステップ 11.1.2

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 5 \cdot 0}$

ステップ 11.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 0}$

ステップ 11.2.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

ステップ 11.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

ステップ 11.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} \cdot 7$

ステップ 11.4

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} \cdot 7$

ステップ 11.4.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

微分積分例