微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

ステップ 1

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

ステップ 2

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\cot (0)$ を書き換えます。

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

ステップ 2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

ステップ 2.4

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 3

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

ステップ 4

右側極限を求めます。

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ステップ 4.1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

ステップ 4.1.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

ステップ 4.1.1.3

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 4.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 4.1.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 4.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 4.1.3.3

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

ステップ 4.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

ステップ 4.1.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

ステップ 4.1.6

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.6.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

ステップ 4.1.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

ステップ 4.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

ステップ 4.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ は $0$ に近づきます。

$- 0$

ステップ 4.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 5

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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