微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ ; $x = 3$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 1 + 0$

ステップ 1.4.2

$x^{2} - 1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 1$

ステップ 2

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = {(3)}^{2} - 1$

ステップ 3

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = 9 - 1$

ステップ 4

$9$ から $1$ を引きます。

$f' (3) = 8$

微分積分 例

微分積分例