微分積分例

$y = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $y = 0$

ステップ 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ ならば $V = π \int_{- 6}^{6} {(f (x))}^{2} d x$

ステップ 2

被積分関数を簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}^{2}$ を $(6 + x) (6 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ を ${((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$V = {({((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$V = (6 + x) (6 - x)$

ステップ 2.1.5

簡約します。

$V = (6 + x) (6 - x)$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(6 + x) (6 - x)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$V = 6 (6 - x) + x (6 - x)$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x (6 - x)$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$V = 36 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$V = 36 - 6 x + x \cdot 6 + x (- x)$

ステップ 2.3.1.3

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$V = 36 - 6 x + 6 \cdot x + x (- x)$

ステップ 2.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$V = 36 - 6 x + 6 x - x \cdot x$

ステップ 2.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$V = 36 - 6 x + 6 x - (x \cdot x)$

ステップ 2.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$V = 36 - 6 x + 6 x - x^{2}$

ステップ 2.3.2

$- 6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$V = 36 + 0 - x^{2}$

ステップ 2.3.3

$36$ と $0$ をたし算します。

$V = 36 - x^{2}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{- 6}^{6} 36 d x + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - \int_{- 6}^{6} x^{2} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{6}))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

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ステップ 7.2.1

$6$ および $- 6$ で $36 x$ の値を求めます。

$V = π ((36 \cdot 6) - 36 \cdot - 6 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

ステップ 7.2.2

$6$ および $- 6$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$V = π (36 \cdot 6 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$36$ に $6$ をかけます。

$V = π (216 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.2

$- 36$ に $- 6$ をかけます。

$V = π (216 + 216 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.3

$216$ と $216$ をたし算します。

$V = π (432 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.4

$6$ を $3$ 乗します。

$V = π (432 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.5

$216$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.5.1

$3$ を $216$ で因数分解します。

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.5.2.3

式を書き換えます。

$V = π (432 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.5.2.4

$72$ を $1$ で割ります。

$V = π (432 - (72 - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

ステップ 7.2.3.6

$- 6$ を $3$ 乗します。

$V = π (432 - (72 - \frac{- 216}{3}))$

ステップ 7.2.3.7

$- 216$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.7.1

$3$ を $- 216$ で因数分解します。

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3}))$

ステップ 7.2.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}))$

ステップ 7.2.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}))$

ステップ 7.2.3.7.2.3

式を書き換えます。

$V = π (432 - (72 - \frac{- 72}{1}))$

ステップ 7.2.3.7.2.4

$- 72$ を $1$ で割ります。

$V = π (432 - (72 + 72))$

ステップ 7.2.3.8

$- 1$ に $- 72$ をかけます。

$V = π (432 - (72 + 72))$

ステップ 7.2.3.9

$72$ と $72$ をたし算します。

$V = π (432 - 1 \cdot 144)$

ステップ 7.2.3.10

$- 1$ に $144$ をかけます。

$V = π (432 - 144)$

ステップ 7.2.3.11

$432$ から $144$ を引きます。

$V = π \cdot 288$

ステップ 7.2.3.12

$288$ を $π$ の左に移動させます。

$V = 288 π$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = 288 π$

10進法形式：

$V = 904.77868423 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

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