微分積分例

$\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$

ステップ 1

$\frac{π}{3}$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$ の微分係数は $\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$ です。

$\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$

ステップ 2

$f (h) = h^{2}$ および $g (h) = 3 r - h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ は $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [3 r - h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 r - h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]$ です。

$\frac{π}{3} (h^{2} (\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.2

$3 r$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $3 r$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{π}{3} (h^{2} (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d h} [- h]$ をたし算します。

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [- h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.4

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- h$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [h]$ です。

$\frac{π}{3} (h^{2} (- \frac{d}{d h} [h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{π}{3} (h^{2} (- 1 \cdot 1) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{3} (h^{2} \cdot - 1 + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.6.2

$- 1$ を $h^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{π}{3} (- 1 \cdot h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.6.3

$- 1 h^{2}$ を $- h^{2}$ に書き換えます。

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) (2 h))$

ステップ 3.8

$2$ を $3 r - h$ の左に移動させます。

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 \cdot (3 r - h) h)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (2 (3 r) + 2 (- h)) h)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 (3 r) h + 2 (- h) h)$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{π}{3} (- h^{2}) + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{π}{3}$ と $h^{2}$ をまとめます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (6 r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.3

$6$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 π}{3} (r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.4

$r$ と $\frac{6 π}{3}$ をまとめます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π)}{3} h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.5

$\frac{r (6 π)}{3}$ と $h$ をまとめます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π) h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.6

$6$ を $r$ の左に移動させます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 \cdot r π h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.7

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.7.1

$3$ を $6 r π h$ で因数分解します。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 (1)} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.7.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 \cdot 1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.7.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{2 r π h}{1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.7.2.4

$2 r π h$ を $1$ で割ります。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

ステップ 4.4.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h \cdot h)$

ステップ 4.4.9

$h$ を $1$ 乗します。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h))$

ステップ 4.4.10

$h$ を $1$ 乗します。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h^{1}))$

ステップ 4.4.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{1 + 1})$

ステップ 4.4.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{2})$

ステップ 4.4.13

$- 2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π}{3} h^{2}$

ステップ 4.4.14

$\frac{- 2 π}{3}$ と $h^{2}$ をまとめます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π h^{2}}{3}$

ステップ 4.4.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h - \frac{2 π h^{2}}{3}$

ステップ 4.4.16

公分母の分子をまとめます。

$2 r π h + \frac{- π h^{2} - 2 π h^{2}}{3}$

ステップ 4.4.17

$- π h^{2}$ から $2 π h^{2}$ を引きます。

$2 r π h + \frac{- 3 π h^{2}}{3}$

ステップ 4.4.18

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.18.1

$3$ を $- 3 π h^{2}$ で因数分解します。

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3}$

ステップ 4.4.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.18.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 (1)}$

ステップ 4.4.18.2.2

共通因数を約分します。

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.4.18.2.3

式を書き換えます。

$2 r π h + \frac{- π h^{2}}{1}$

ステップ 4.4.18.2.4

$- π h^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 r π h - π h^{2}$

ステップ 4.5

項を並べ替えます。

$2 π h r - π h^{2}$

微分積分 例

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