微分積分例

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 3]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

ステップ 3.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 3.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

ステップ 3.1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 10 x$ です。

$3 x^{2} + 10 x$

ステップ 4

微分係数が $(0, 3)$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 3)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 3)$ で連続なので、関数は $(0, 3)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 3]$ で連続し、 $(0, 3)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 3]$ で連続し、 $(0, 3)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 3]$ から $f (a)$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

ステップ 7.2.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 7.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 8

区間 $[0, 3]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

ステップ 8.2.1.3

$5$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 27 + 45$

ステップ 8.2.2

$27$ と $45$ をたし算します。

$f (3) = 72$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $72$ です。

$72$

ステップ 9

$x$ について $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

ステップ 9.1.1.2

$72$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

ステップ 9.1.2.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

ステップ 9.1.3

$72$ を $3$ で割ります。

$3 x^{2} + 10 x = 24$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $24$ を引きます。

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

ステップ 9.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 9.4

$a = 3$ 、 $b = 10$ 、および $c = - 24$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5

簡約します。

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ステップ 9.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5.1.2.2

$- 12$ に $- 24$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5.1.3

$100$ と $288$ をたし算します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5.1.4

$388$ を $2^{2} \cdot 97$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1.4.1

$4$ を $388$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

ステップ 9.5.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.6.1.2.2

$- 12$ に $- 24$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.6.1.3

$100$ と $288$ をたし算します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.6.1.4

$388$ を $2^{2} \cdot 97$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1.4.1

$4$ を $388$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

ステップ 9.6.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.6.5

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.6.6

$- 1$ を $\sqrt{97}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

ステップ 9.6.7

$- 1$ を $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

ステップ 9.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.7.1.2.2

$- 12$ に $- 24$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.7.1.3

$100$ と $288$ をたし算します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.7.1.4

$388$ を $2^{2} \cdot 97$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1.4.1

$4$ を $388$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

ステップ 9.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

ステップ 9.7.3

$\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.7.5

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.7.6

$- 1$ を $- \sqrt{97}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

ステップ 9.7.7

$- 1$ を $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

ステップ 9.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

ステップ 9.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

ステップ 10

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

ステップ 11

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例