微分積分例

$f (x) = x^{3}$ , $[0, 3]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ が連続関数か確認します。

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ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 3]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2}$ です。

$3 x^{2}$

ステップ 4

微分係数が $(0, 3)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 3)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 3)$ で連続なので、関数は $(0, 3)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 3]$ で連続し、 $(0, 3)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 3]$ で連続し、 $(0, 3)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 3]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 8

区間 $[0, 3]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{3}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 27$

ステップ 8.2.2

最終的な答えは $27$ です。

$27$

ステップ 9

$x$ について $3 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $3 x^{2} = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ です。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 x^{2} = \frac{27 + 0}{(3) - (0)}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 x^{2} = \frac{27 + 0}{3 + 0}$

ステップ 9.1.3

今日数因数で約分することで式 $\frac{27 + 0}{3 + 0}$ を約分します。

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ステップ 9.1.3.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$3 x^{2} = \frac{3 (9) + 0}{3 + 0}$

ステップ 9.1.3.2

$3$ を $0$ で因数分解します。

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot 9 + 3 \cdot 0}{3 + 0}$

ステップ 9.1.3.3

$3$ を $3 \cdot 9 + 3 \cdot 0$ で因数分解します。

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 + 0}$

ステップ 9.1.3.4

$3$ を $3$ で因数分解します。

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 (1) + 0}$

ステップ 9.1.3.5

$3$ を $0$ で因数分解します。

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9.1.3.6

$3$ を $3 \cdot 1 + 3 \cdot 0$ で因数分解します。

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot (1 + 0)}$

ステップ 9.1.3.7

共通因数を約分します。

$3 x^{2} = \frac{3 \cdot (9 + 0)}{3 \cdot (1 + 0)}$

ステップ 9.1.3.8

式を書き換えます。

$3 x^{2} = \frac{9 + 0}{1 + 0}$

ステップ 9.1.4

$9$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} = \frac{9}{1 + 0}$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} = \frac{9}{1}$

ステップ 9.1.6

$9$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} = 9$

ステップ 9.2

$3 x^{2} = 9$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$3 x^{2} = 9$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{9}{3}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{9}{3}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$9$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 3$

ステップ 9.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 9.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 9.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 9.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 10

$x = \sqrt{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

$x = \sqrt{3}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

ステップ 11

$x = - \sqrt{3}$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

$x = - \sqrt{3}$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 3$ を通る線と平行です。

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例